Área 2. Relaciones y álgebra
Relaciones y Álgebra: funciones lineal, cuadrática, exponencial y logarítmica
Al terminar vas a poder decidir la monotonía de las cuatro funciones mirando un solo número, calcular el vértice de una parábola y explicar de dónde sale, ubicar los cortes con los ejes, y deducir la gráfica del logaritmo desde la exponencial.
La lineal: la pendiente es un ritmo
Una función lineal se escribe f(x) = mx + b. m es la pendiente, y dice algo concreto: cuánto cambia y cuando x aumenta una unidad. Si m = 3, cada paso a la derecha sube 3; si m = −2, baja 2. De ahí sale la monotonía: m > 0 creciente, m < 0 decreciente, m = 0 constante, porque el signo de m es el del cambio.
Los cortes se calculan, no se recuerdan: con el eje y, poné x = 0 y queda (0, b); con el eje x, ahí y vale 0, así que mx + b = 0 da x = −b ÷ m.
La cuadrática: el vértice está en el centro de las raíces
f(x) = ax² + bx + c dibuja una parábola, y el signo de a decide la concavidad. Cuando x se hace grande, ax² domina sobre bx y c: si a > 0 la función se dispara hacia arriba y tiene mínimo; si a < 0, abre hacia abajo y tiene máximo.
El vértice V(h, k) sale de h = −b ÷ (2a) y k = f(h). Ese h no cae del cielo: las raíces (−b + √Δ) ÷ 2a y (−b − √Δ) ÷ 2a están a igual distancia de −b ÷ 2a, y como la parábola es simétrica su punto extremo cae ahí.
De ahí sale un control gratis: si conocés las raíces, h es el promedio de ellas. Si no queda en el medio, la cuenta está mala.
Los cortes: con el eje y es (0, c), porque f(0) = c; con el eje x se resuelve ax² + bx + c = 0 factorizando o con x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a. La monotonía sale del vértice: la parábola crece de un lado y decrece del otro, con el cambio en h.
Exponencial y logarítmica: una es el reflejo de la otra
En la exponencial f(x) = aˣ (a > 0, a ≠ 1) la variable está en el exponente: cada paso en x multiplica por a en vez de sumar.
- a > 1: cada paso multiplica por algo mayor que 1: crece.
- 0 < a < 1: cada paso multiplica por una fracción: decrece.
- Pasa por (0, 1), porque toda base elevada a 0 da 1.
- Nunca toca el eje x: una potencia de base positiva es positiva, y se acerca a 0 sin llegar. Esa es su asíntota.
La logarítmica f(x) = logₐ(x) es la inversa de la exponencial, y de ahí se deducen sus propiedades:
| Exponencial aˣ | Logarítmica logₐ(x) | Por qué |
|---|---|---|
| pasa por (0, 1) | pasa por (1, 0) | la inversa intercambia coordenadas |
| toma valores positivos | admite solo x > 0 | la imagen pasa a dominio |
| asíntota y = 0 | asíntota x = 0 | el eje también se refleja |
El logaritmo es el exponente: logₐ(x) responde «¿a qué hay que elevar a para obtener x?». De ahí salen las dos igualdades clave, logₐ(aˣ) = x y a elevado a logₐ(x) da x. Y como una función y su inversa son simétricas respecto a y = x, la gráfica del logaritmo es el espejo de la exponencial en esa recta. La monotonía se hereda: si a > 1 las dos crecen, si 0 < a < 1 las dos decrecen. Lo decide la base, no la forma.
Ejemplos resueltos
1. Para f(x) = −2x + 6, hallá monotonía y los dos cortes. m = −2 < 0: decreciente. Corte con y: f(0) = 6 → (0, 6). Corte con x: −2x + 6 = 0 → (3, 0). Comprobación: f(3) = 0, y como baja 2 por paso, de (0, 6) a (3, 0) baja 6 en 3 pasos.
2. Para f(x) = x² − 6x + 5, hallá concavidad, vértice, cortes y monotonía. a = 1 > 0: abre hacia arriba, con mínimo. h = 6 ÷ 2 = 3, y k = f(3) = 9 − 18 + 5 = −4: vértice (3, −4). Cortes con x: (x − 1)(x − 5) → x = 1 y x = 5. Con y: (0, 5). Comprobación: el promedio de las raíces es 3, igual a h. Monotonía: decrece hasta x = 3 y crece después.
3. Compará f(x) = 2ˣ con g(x) = (1/2)ˣ en x = 0 y x = 3. En x = 0 las dos valen 1, porque toda base elevada a 0 da 1. En x = 3: f(3) = 8 y g(3) = 0,125. Con base mayor que 1 crece; entre 0 y 1, decrece. Ninguna llega a 0: se le acercan.
4. Calculá log₂(8) y explicá por qué log₂(0) no existe. log₂(8) pregunta a qué exponente elevar 2 para obtener 8: como 2 × 2 × 2 = 8, es 3. Y log₂(0) no existe porque ninguna potencia de 2 da 0: siempre es positiva. Por eso el dominio es x > 0.
5. Si la exponencial de base 2 pasa por (3, 8), ¿por dónde pasa su logaritmo? Por (8, 3): la inversa intercambia coordenadas. Comprobación: log₂(8) = 3, lo mismo de arriba. Los dos puntos son simétricos respecto a y = x.
Los errores que más se cobran
- Confundir el corte con el eje x y el del eje y. Se resuelven poniendo en cero la otra variable: para el corte con x se hace y = 0. Invertirlo intercambia las respuestas.
- Equivocar el signo en h = −b ÷ (2a). Si b es negativo, −b es positivo. El promedio de las raíces lo detecta al instante.
- Dar el vértice como un solo número. Es un punto: se calcula h y después k = f(h). Solo h deja la respuesta a medias.
- Creer que la exponencial corta el eje x. Nunca lo corta, porque una potencia de base positiva es positiva. Solo se le acerca: eso es una asíntota.
- Evaluar un logaritmo en cero o en un negativo. Ningún exponente convierte una base positiva en 0 ni en un negativo: por eso el dominio empieza después del 0.
- Decidir la monotonía de una exponencial por el exponente. Manda la base: mayor que 1 crece; entre 0 y 1, decrece.
Clave de análisis
Las cuatro se ordenan con una pregunta: ¿qué le pasa a y cuando x avanza un paso? En la lineal, y suma siempre lo mismo, y ese sumando es m: por eso la gráfica es recta y el signo de m decide todo. En la cuadrática el sumando va cambiando, así que la curva tiene un punto de retorno y crece de un lado mientras decrece del otro. En la exponencial, y no suma: multiplica por la base, y de ahí el crecimiento acelerado y la asíntota. La logarítmica es esa misma al revés: es el exponente.
Con esa idea se reconstruye lo demás. El vértice está en el centro de las raíces, así que h = −b ÷ (2a) se comprueba promediando. Los cortes salen de poner en cero la otra variable. Y las propiedades del logaritmo no se guardan aparte: se obtienen dando vuelta las de la exponencial, porque la inversa intercambia dominio con imagen y asíntota horizontal con vertical. Antes de dibujar, mirá el signo del coeficiente principal o el tamaño de la base: con eso ya sabés hacia dónde va la curva.