Geometría
Aplicaciones del teorema de Pitágoras
Al terminar vas a poder encontrar el triángulo rectángulo escondido en una situación real —una escalera, una sombra, una cancha—, explicar por qué el ángulo recto decide cuál lado es la hipotenusa, y calcular la medida que falta comprobando el resultado.
Lo difícil no es la cuenta: es ver el triángulo
En un ejercicio de aplicación nadie te dice «este es un triángulo rectángulo». Te hablan de una escalera, de una sombra, de un terreno. El primer trabajo es encontrar el ángulo recto: sin él, el teorema no sirve.
El ángulo recto casi nunca lo inventa el problema: ya está en el mundo. La pared con el piso, el árbol con el suelo, dos lados seguidos de un rectángulo.
Regla que ordena todo: el lado que no toca el ángulo recto es la hipotenusa. Los dos que sí lo tocan son los catetos. Y como la hipotenusa está enfrente del ángulo mayor, es siempre el lado más largo de los tres.
Por eso conviene dibujar antes de calcular, aunque sea un garabato. El dibujo te dice qué dato es hipotenusa y qué dato es cateto, y eso define si sumás o restás.
Escalera apoyada en una pared
Una escalera de 5 m se apoya contra una pared con su base a 3 m de la pared. ¿A qué altura llega?
La pared es vertical y el piso horizontal: entre ellos hay 90°. La escalera va de un lado al otro sin tocar esa esquina, así que la escalera es la hipotenusa. La distancia en el piso y la altura en la pared son los catetos. Como falta un cateto, resto:
x² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16, entonces x = √16 = 4 m.
Comprobación: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Coincide. Y fijate que 4 es menor que 5: la escalera tiene que ser más larga que la altura que alcanza, porque está inclinada.
Altura de un árbol con su sombra
Un árbol proyecta una sombra de 6 m. Desde la punta de la sombra hasta la copa hay 10 m. ¿Cuánto mide el árbol?
El árbol crece derecho y la sombra se estira en el suelo: 90° entre los dos. La línea que va de la punta de la sombra a la copa no toca el pie del árbol, así que esos 10 m son la hipotenusa.
h² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64, entonces h = √64 = 8 m.
Comprobación: 36 + 64 = 100 = 10².
Diagonales: el rectángulo trae el ángulo recto de fábrica
Un rectángulo tiene cuatro ángulos rectos. Al trazarle una diagonal lo partís en dos triángulos rectángulos iguales, donde el largo y el ancho son los catetos y la diagonal es la hipotenusa. Eso convierte cualquier problema de cancha, terreno o pantalla en un Pitágoras directo.
Una cancha mide 40 m de largo y 30 m de ancho. La diagonal es:
d = √(40² + 30²) = √(1600 + 900) = √2500 = 50 m.
Comprobación: 1600 + 900 = 2500 = 50². La diagonal quedó mayor que el largo, como corresponde.
Por qué cruzar en diagonal es más corto
En un terreno de 9 m por 12 m, ir de una esquina a la opuesta por el borde son 9 + 12 = 21 m. Cruzando en diagonal: d = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15 m.
Se ahorran 6 m, y no es casualidad del ejemplo: la hipotenusa siempre mide menos que los dos catetos sumados, porque la línea recta entre dos puntos es el camino más corto que existe. Si te da una diagonal mayor que la suma de los lados, hay error seguro.
Ejemplos resueltos
1. Un poste de 12 m se sostiene con un cable tensado desde la punta hasta un punto del suelo a 5 m de la base. ¿Cuánto mide el cable? El poste es vertical y el suelo horizontal: ángulo recto en la base. El cable no toca esa esquina, así que es la hipotenusa. Me dan los dos catetos, así que sumo: c = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13 m. Comprobación: 25 + 144 = 169 = 13². El cable salió más largo que el poste, como tiene que ser.
2. Una pantalla de televisor mide 16 pulgadas de ancho y 12 de alto. ¿Cuánto mide su diagonal? La pantalla es un rectángulo, así que el ancho y el alto son catetos. d = √(16² + 12²) = √(256 + 144) = √400 = 20 pulgadas. Comprobación: 20² = 400 = 256 + 144.
3. Una rampa sube 1,5 m de altura y su base mide 2 m. ¿Cuánto mide la superficie inclinada? La altura y la base forman el ángulo recto; la rampa es la hipotenusa. d = √(1,5² + 2²) = √(2,25 + 4) = √6,25 = 2,5 m. Comprobación: 2,25 + 4 = 6,25 = 2,5².
4. Una escalera de 13 m se apoya en una pared y llega a 12 m de altura. ¿A qué distancia de la pared está su base? La escalera es hipotenusa, la altura es cateto y falta el otro cateto: x = √(13² − 12²) = √(169 − 144) = √25 = 5 m. Comprobación: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13².
5. Un terreno triangular tiene lados de 7 m, 9 m y 11 m. ¿Se le puede aplicar Pitágoras? Primero hay que ver si es rectángulo: 7² + 9² = 49 + 81 = 130, pero 11² = 121. No son iguales, así que no hay ángulo recto y el teorema no aplica.
Los errores que más se cobran
- Aplicar el teorema sin encontrar el ángulo recto. Si en la situación no hay nada perpendicular, la relación entre los cuadrados no existe y el número que salga no mide nada real.
- Poner de hipotenusa un dato que es cateto. Pasa cuando se toma el primer número del enunciado sin dibujar. La hipotenusa es la de enfrente del ángulo recto, no la que aparece primero.
- Sumar cuando había que restar. Sumás solo si falta la hipotenusa; si falta un cateto, el cuadrado del cateto conocido se le quita al de la hipotenusa.
- Restar los lados en vez de los cuadrados. En la escalera, 5 − 3 = 2 es tentador y está mal: el teorema compara áreas, así que primero se eleva y después se resta.
- Cambiar de unidad en el camino. Si un dato viene en metros y otro en centímetros, hay que igualar antes de elevar al cuadrado; si no, se suman cosas distintas.
- No revisar si el resultado es razonable. La hipotenusa sale mayor que cada cateto y menor que los dos juntos. Fuera de ese rango, el error se delata solo.
Clave de análisis
Todo problema de aplicación se resuelve con tres preguntas en orden. ¿Dónde está el ángulo recto? Buscalo donde algo vertical se encuentra con algo horizontal, o en la esquina de un rectángulo. ¿Cuál lado no toca ese ángulo? Ese es la hipotenusa, y es el más largo. ¿Lo que falta es la hipotenusa o un cateto? Si falta la hipotenusa, sumás los dos cuadrados; si falta un cateto, restás. La raíz va siempre al final, porque devuelve el número de área a longitud.
El dibujo no es un adorno: es el paso que decide la operación. Cuando dibujás la escalera, el árbol o la cancha y marcás la esquina cuadrada, el problema deja de ser de lectura y se vuelve de aritmética. Y la comprobación es siempre la misma: sumá los cuadrados de los dos catetos que quedaron y verificá que den el cuadrado de la hipotenusa.