Recta y circunferencia: secante, tangente o exterior

Al terminar vas a poder decidir si una recta corta, toca o no toca una circunferencia comparando solo dos números, calcular la distancia de un centro a una recta, y hallar los puntos de corte cuando existen.

Todo el problema se reduce a una comparación

Una circunferencia es el conjunto de los puntos que están a una misma distancia —el radio r— de un punto fijo llamado centro. Esa es toda su definición. Una recta, en cambio, es infinita y no se dobla.

Cuando ponés las dos en el mismo plano, lo único que decide qué pasa entre ellas es qué tan cerca del centro pasa la recta. Si pasa muy cerca, la atraviesa. Si pasa justo rozando, la toca en un punto. Si pasa lejos, no la toca nunca.

La posición relativa sale de comparar d (distancia del centro a la recta) con r (el radio). No hay un cuarto caso posible, porque dos números solo pueden ser uno menor que el otro, iguales, o al revés.

Las tres posiciones y por qué son exactamente tres

Fijate en la lógica. Si la recta pasa a menos distancia que el radio, entra en el disco y tiene que salir: dos cortes. Si pasa a distancia exactamente igual al radio, el punto más cercano de la recta al centro está sobre la circunferencia: ese es el único contacto. Si pasa a más distancia, ni el punto más cercano alcanza a tocarla: cero cortes.

De ahí sale una propiedad que se cobra mucho: en el punto de tangencia, el radio es perpendicular a la recta. Es que la distancia del centro a la recta se mide justamente por la perpendicular, y en el caso tangente esa perpendicular mide r.

Cómo se calcula la distancia de un punto a una recta

Si la recta está escrita en forma general Ax + By + C = 0 y el centro es (x₀, y₀), la distancia es:

d = |A·x₀ + B·y₀ + C| ÷ √(A² + B²)

El valor absoluto está porque una distancia nunca es negativa. La raíz de abajo normaliza: sin ella el resultado cambiaría si multiplicaras toda la ecuación por 3, y la recta sería la misma.

Antes de aplicarla hay que tener el centro y el radio. Si la circunferencia viene como (x − h)² + (y − k)² = r², el centro es (h, k) y el radio es la raíz del número de la derecha. Cuidado con los signos: en (x + 1)² el valor de h es −1.

El otro camino: sustituir y mirar el discriminante

Hay una segunda vía, y conviene tenerla porque además da los puntos. Se despeja una variable en la recta, se mete en la circunferencia y queda una ecuación de segundo grado. El discriminante b² − 4·a·c decide:

• Discriminante positivo: dos soluciones, la recta es secante.
• Discriminante cero: una solución doble, la recta es tangente.
• Discriminante negativo: ninguna solución real, la recta es exterior.

Si solo te preguntan la posición, usá la distancia: es más corto. Si te piden los puntos de corte, usá la sustitución: la distancia no te los da.

Ejemplos resueltos

1. ¿Qué posición tiene la recta 3x + 4y − 25 = 0 respecto de la circunferencia x² + y² = 25? El centro es (0, 0) y r = √25 = 5. Calculamos: d = |3·0 + 4·0 − 25| ÷ √(3² + 4²) = 25 ÷ √25 = 25 ÷ 5 = 5. Como d = r, la recta es tangente.

2. Clasificá la recta x + y − 1 = 0 frente a la circunferencia (x − 2)² + (y − 1)² = 9. Centro (2, 1), r = √9 = 3. Entonces d = |2 + 1 − 1| ÷ √(1² + 1²) = 2 ÷ √2 = √2 ≈ 1,41. Como 1,41 < 3, la recta es secante: la corta en dos puntos.

3. La recta y = 7 y la circunferencia x² + y² = 25. Escribí la recta como 0·x + 1·y − 7 = 0. Centro (0, 0), r = 5. Entonces d = 7 ÷ 1 = 7. Como 7 > 5, es exterior. Tenía que dar así: la circunferencia no pasa de la altura 5 y la recta va por la altura 7.

4. Hallá los puntos comunes entre y = x + 2 y x² + y² = 10. Sustituimos: x² + (x + 2)² = 10, es decir x² + x² + 4x + 4 = 10, o sea 2x² + 4x − 6 = 0. Dividimos entre 2: x² + 2x − 3 = 0. El discriminante es 2² − 4·1·(−3) = 4 + 12 = 16, positivo: secante. Las raíces son x = 1 y x = −3. Con y = x + 2 se obtienen (1, 3) y (−3, −1). Comprobación: 1² + 3² = 10 y (−3)² + (−1)² = 10. Correcto.

5. ¿Para qué valor de k la recta y = x + k es tangente a x² + y² = 8? La recta en forma general es x − y + k = 0. El radio es √8 = 2√2 y el centro es (0, 0). Pedimos d = r: |k| ÷ √2 = 2√2, de donde |k| = 2√2 · √2 = 4. Entonces k = 4 o k = −4. Comprobamos con k = 4: x² + (x + 4)² = 8 da x² + 4x + 4 = 0, que es (x + 2)² = 0, raíz doble x = −2. Un solo punto: tangente.

Los errores que más se cobran

1. Confundir r con r². En (x − 3)² + (y + 1)² = 16 el radio es 4, no 16. El error nace de leer la ecuación como si el número de la derecha fuera la distancia; la definición dice que ahí está el cuadrado de la distancia.
2. Leer mal el signo del centro. En (x + 5)² la coordenada es −5. El molde es (x − h)²; si aparece un más, es porque h es negativo.
3. Olvidar el valor absoluto en la distancia. Sin él pueden salir distancias negativas, que no existen, y una recta secante se clasifica como exterior por pura confusión de signo.
4. No pasar la recta a la forma Ax + By + C = 0. Si aplicás la fórmula sobre y = 2x + 1 sin ordenarla, los coeficientes A y B quedan mal y todo el cálculo se cae.
5. Creer que el discriminante da los puntos. Solo dice cuántos hay. Para los puntos hay que resolver la ecuación y devolver cada x a la recta para sacar su y.
6. Comparar d con r². Se comparan dos cantidades del mismo tipo: distancia con distancia. Elevar una sola de las dos al cuadrado cambia el resultado.

Clave de análisis

Si se te borra la tabla, la reconstruís con una sola imagen: una recta que se va acercando al centro. Mientras está lejos no toca nada; en el instante exacto en que la distancia iguala al radio hay un solo contacto; si sigue acercándose, atraviesa y corta dos veces. De esa película salen los tres casos en orden y con sus cantidades de puntos, sin necesidad de acordarse de ninguna lista.

La segunda idea que ordena todo es que la distancia de un punto a una recta se mide por la perpendicular. De ahí sale la fórmula con valor absoluto, y de ahí sale también la propiedad del radio perpendicular en el punto de tangencia: no son dos hechos distintos, son el mismo visto desde dos lados.

Y la tercera: preguntar por la posición relativa es preguntar cuántas soluciones tiene el sistema de las dos ecuaciones. Por eso el discriminante y la comparación de d con r siempre coinciden. Si te dan resultados distintos, hay un error de cuentas, no dos verdades.