Traslaciones, rotaciones y reflexiones en el plano

Al terminar vas a poder distinguir una traslación de una rotación y de una reflexión por lo que cada una conserva, calcular las coordenadas de la imagen de un punto en los casos usuales, y explicar por qué la figura resultante siempre es congruente con la original.

Qué tienen en común las tres: no deforman

Traslación, rotación y reflexión son movimientos rígidos, también llamados isometrías. La palabra lo dice: iso (igual) y metría (medida). Mueven la figura, pero ninguna distancia entre dos puntos cambia.

De ahí salen todas las propiedades que se preguntan: los lados miden lo mismo, los ángulos miden lo mismo, el área es la misma, y la figura original y su imagen son congruentes. Si en un ejercicio la imagen tiene otro tamaño, lo aplicado no fue ninguna de estas tres.

Las tres conservan medidas. La única diferencia real entre ellas es qué queda fijo y si el recorrido de la figura se invierte.

Lo que distingue a cada una

Esa tercera columna es la que más se cobra. Si tomás un triángulo con vértices A, B, C nombrados en sentido contrario a las manecillas y lo trasladás o lo girás, en la imagen siguen en sentido contrario a las manecillas. Si lo reflejás, quedan en sentido de las manecillas: la reflexión da vuelta la figura como si fuera un guante.

La traslación: un mismo empujón para todos los puntos

Una traslación se define por un vector (a, b): a dice cuánto se corre en horizontal y b cuánto en vertical:

(x, y) → (x + a, y + b)

Todos los puntos reciben exactamente el mismo empujón. Por eso ningún punto queda quieto (salvo si el vector es el nulo) y por eso cada segmento de la figura queda paralelo a su imagen.

La rotación: giro alrededor de un punto

Una rotación necesita tres datos: el centro, el ángulo y el sentido. Por convención, el ángulo positivo gira en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Con centro en el origen, las tres rotaciones que se piden en el examen son:

• 90° contra reloj: (x, y) → (−y, x)
• 180°: (x, y) → (−x, −y)
• 270° contra reloj, que es lo mismo que 90° a favor del reloj: (x, y) → (y, −x)

No hace falta tratarlas como tres reglas sueltas. Girar 180° es aplicar dos veces el giro de 90°: si (x, y) va a (−y, x), aplicar otra vez lleva a (−x, −y). Y 270° es aplicar tres veces. Con la regla de 90° reconstruís las otras dos.

La reflexión: doblar el papel por el eje

Una reflexión se define por una recta llamada eje. Cada punto y su imagen quedan a la misma distancia del eje, y el segmento que los une es perpendicular al eje. Los puntos que están sobre el eje no se mueven.

Los cuatro ejes de siempre:

• Eje x: (x, y) → (x, −y)
• Eje y: (x, y) → (−x, y)
• Recta y = x: (x, y) → (y, x)
• Recta y = −x: (x, y) → (−y, −x)

También aquí hay una razón, no una lista: al reflejar por el eje x, la distancia horizontal al eje no cambia y la vertical cambia de lado, entonces la que cambia de signo es y. Por el eje y pasa lo contrario. Y reflejar por y = x es intercambiar los papeles de las dos coordenadas, que es justo lo que hace esa recta.

Ejemplos resueltos

1. Trasladá el punto A(2, 3) según el vector (−5, 1). Se suma componente a componente: (2 + (−5), 3 + 1) = A'(−3, 4). Comprobación de sentido: el vector tiene primera componente negativa, así que el punto se corrió hacia la izquierda, y en efecto pasó de x = 2 a x = −3.

2. Rotá el triángulo de vértices P(1, 0), Q(4, 0), R(4, 2) un ángulo de 90° contra reloj con centro en el origen. Aplicamos (x, y) → (−y, x): P'(0, 1), Q'(0, 4), R'(−2, 4). Verificamos que no se deformó: PQ medía 3 y P'Q' va de (0,1) a (0,4), que también mide 3. QR medía 2 y Q'R' va de (0,4) a (−2,4), que mide 2. Congruente, como tenía que ser.

3. Reflejá B(4, −1) respecto de la recta y = x. Se intercambian las coordenadas: B'(−1, 4). Fijate que el punto medio entre B y B' es (1,5; 1,5), que está sobre la recta y = x. Eso confirma que el eje corta al segmento por la mitad.

4. Al triángulo T se le aplica una reflexión por el eje y y después una traslación de vector (0, −3). ¿La figura final es congruente con T? ¿Conserva el sentido de los vértices? Es congruente, porque componer isometrías da otra isometría. El sentido sí se invierte: la reflexión lo invierte una vez y la traslación no lo toca. Una cantidad impar de reflexiones deja la figura invertida.

5. El punto C(3, 5) se rota 180° con centro en el origen. ¿Adónde llega y qué relación tiene el origen con C y C'? (x, y) → (−x, −y) da C'(−3, −5). El origen es el punto medio del segmento CC': el promedio de 3 y −3 es 0, y el de 5 y −5 también. Por eso la rotación de 180° se llama también simetría central.

Los errores que más se cobran

1. Sumar el vector solo a una coordenada. La traslación empuja en las dos direcciones a la vez; olvidar b deja el punto en una fila que no le toca. El origen del error es leer el vector como si fuera un solo número.
2. Girar para el lado equivocado. Si no se fija el sentido, 90° contra reloj y 90° a favor dan puntos distintos, y en el plano quedan en cuadrantes opuestos. Siempre hay que anotar el sentido antes de aplicar la regla.
3. Confundir la reflexión por y = x con la rotación de 90°. La primera manda (x, y) a (y, x) y la segunda a (−y, x). Se parecen porque ambas intercambian las coordenadas, pero solo una cambia un signo.
4. Creer que la reflexión cambia el tamaño. No lo cambia: la imagen es congruente. Lo único que se invierte es el orden en que se recorren los vértices.
5. Rotar con centro distinto del origen usando las reglas del origen. Esas reglas valen solo con centro (0, 0). Con otro centro hay que trasladar la figura para llevar el centro al origen, girar, y devolverla.
6. Suponer que todo punto se mueve. En una reflexión los puntos del eje quedan quietos; en una rotación queda quieto el centro. Marcar eso como error es leer mal la definición.

Clave de análisis

Si se te borra la tabla, arrancá de la pregunta «¿qué queda quieto?». Si no queda quieto ningún punto, es una traslación. Si queda quieto un punto, es una rotación alrededor de ese punto. Si queda quieta toda una recta, es una reflexión con esa recta como eje. Esas tres respuestas agotan los casos y te devuelven los tres nombres sin ayuda de ninguna lista.

La segunda pregunta que ordena es «¿se invirtió el recorrido de los vértices?». Traslación y rotación lo respetan; la reflexión lo invierte. Con eso decidís si una composición larga de movimientos dejó la figura derecha o al revés: contá cuántas reflexiones hay. Par, derecha; impar, al revés.

Y por encima de las dos: ninguna de las tres cambia una sola medida. Cada vez que te salga una imagen con lados distintos, el problema está en las cuentas, no en la figura.