Área y perímetro de polígonos regulares
Al terminar vas a poder deducir la fórmula del área de cualquier polígono regular en vez de buscarla, calcular perímetro, apotema y área de un hexágono o un pentágono, y explicar por qué el área siempre es el perímetro por la apotema entre dos.
Qué hace «regular» a un polígono
Un polígono es regular cuando cumple las dos condiciones a la vez: todos los lados iguales y todos los ángulos iguales. Con una sola no basta. Un rombo tiene los cuatro lados iguales y no es regular; un rectángulo tiene los cuatro ángulos iguales y tampoco lo es. El cuadrado cumple las dos: ese sí.
Esa doble igualdad trae una consecuencia enorme: todo polígono regular se puede inscribir en una circunferencia. Existe un centro que está a la misma distancia de todos los vértices. Y de ese centro sale todo lo demás.
Las tres medidas que hay que separar
| Medida | Qué es | Va de… |
|---|---|---|
| Lado (ℓ) | Cada segmento del borde | vértice a vértice |
| Radio (R) | Del centro a un vértice | centro a vértice |
| Apotema (a) | Del centro al punto medio de un lado | centro a lado, perpendicular |
La apotema es la que más se confunde. No llega a un vértice: llega al medio de un lado, y llega perpendicular. Por eso siempre es menor que el radio.
Por qué el área es P·a ÷ 2
Uní el centro con cada vértice. Un polígono de n lados queda partido en n triángulos iguales. Cada triángulo tiene como base un lado (ℓ) y como altura la apotema (a), porque la apotema cae perpendicular al lado.
El área de cada triángulo es ℓ·a ÷ 2. Como hay n triángulos:
Área = n · ℓ · a ÷ 2 = (n·ℓ) · a ÷ 2 = P · a ÷ 2
donde P = n · ℓ es el perímetro. No hay nada que recordar aparte: la fórmula sale sola de partir la figura en triangulitos.
Área = perímetro · apotema ÷ 2. Sirve para el triángulo equilátero, el cuadrado, el pentágono, el hexágono y el polígono de 20 lados. Es una sola fórmula, no una por figura.
Los ángulos, que también salen de dividir
Los n triángulos reparten los 360° del centro en partes iguales. Entonces el ángulo central mide:
ángulo central = 360° ÷ n
Y el ángulo interno de un polígono regular sale de que la suma de los ángulos internos de cualquier polígono de n lados es (n − 2) · 180°. Al repartirla entre n vértices iguales:
ángulo interno = (n − 2) · 180° ÷ n
Cuando no te dan la apotema
Si el problema da solo el lado, la apotema se saca del triángulo rectángulo que forman la apotema, medio lado y el radio. El ángulo en el centro de ese triángulo rectángulo es la mitad del ángulo central, o sea 180° ÷ n. Con eso:
a = ℓ ÷ (2 · tan(180° ÷ n))
Para el hexágono hay un atajo que conviene conocer: como su ángulo central es 60°, cada uno de los seis triángulos es equilátero, así que R = ℓ y la apotema es la altura de ese equilátero, es decir a = ℓ·√3 ÷ 2.
Ejemplos resueltos
1. Un hexágono regular tiene lado 6 cm. Calculá su perímetro y su área. Perímetro: P = 6 · 6 = 36 cm. Apotema: a = 6·√3 ÷ 2 = 3√3 ≈ 5,196 cm. Área = 36 · 5,196 ÷ 2 = 93,53 cm² aproximadamente. Comprobación: el hexágono son seis triángulos equiláteros de lado 6; cada uno mide √3·36 ÷ 4 = 15,588 cm², y 6 · 15,588 = 93,53 cm². Coincide.
2. Verificá la fórmula general con un cuadrado de lado 5 cm. P = 4 · 5 = 20 cm. La apotema de un cuadrado es la mitad del lado: a = 2,5 cm. Área = 20 · 2,5 ÷ 2 = 25 cm². Es exactamente 5², que es el área del cuadrado por la fórmula de siempre. La fórmula general no contradice la conocida: la contiene.
3. Un pentágono regular tiene lado 8 cm y apotema 5,51 cm. ¿Cuánto mide su área? P = 5 · 8 = 40 cm. Área = 40 · 5,51 ÷ 2 = 110,2 cm².
4. ¿Cuánto mide cada ángulo interno de un octágono regular? ¿Y su ángulo central? Ángulo interno = (8 − 2) · 180° ÷ 8 = 1 080° ÷ 8 = 135°. Ángulo central = 360° ÷ 8 = 45°. Control rápido: el ángulo interno y el central de un mismo polígono regular suman 180°, y 135 + 45 = 180. Cuadra.
5. El perímetro de un polígono regular es 48 cm y cada lado mide 6 cm. ¿Cuántos lados tiene y cuánto mide su ángulo interno? Como P = n · ℓ, entonces n = 48 ÷ 6 = 8 lados: es un octágono. Su ángulo interno mide 135°, igual que en el ejemplo anterior, porque el ángulo interno solo depende de la cantidad de lados, no del tamaño.
Los errores que más se cobran
- Usar el radio en lugar de la apotema. El radio llega al vértice y la apotema al medio del lado. Si metés R donde va a, el área sale de más, porque R siempre es mayor. Es el error más frecuente en hexágonos, donde R = ℓ y da la falsa impresión de ser «el mismo número».
- Multiplicar el lado por la apotema y dividir entre dos. Eso da el área de un solo triángulo, no del polígono. Falta multiplicar por n, y por eso la fórmula usa el perímetro y no el lado.
- Olvidar la división entre 2. El área queda al doble. La división viene de que cada triángulo es la mitad de un rectángulo de base ℓ y altura a: si la borrás, estás contando rectángulos completos.
- Confundir ángulo central con ángulo interno. El central se mide desde el centro y reparte 360°; el interno se mide en el vértice y reparte (n − 2)·180°. Se resuelve preguntando dónde está el vértice del ángulo.
- Aplicar estas fórmulas a un polígono que no es regular. Un rombo o un trapecio no tienen apotema, porque no hay un punto equidistante de todos sus lados y vértices. Sin regularidad no hay n triángulos iguales y la deducción se cae.
- Mezclar unidades. Si el lado viene en centímetros y la apotema en milímetros, el área no significa nada. Hay que pasar todo a la misma unidad antes de multiplicar, y el área sale en esa unidad al cuadrado.
Clave de análisis
Si se te olvida la fórmula, dibujá el polígono y uní el centro con todos los vértices. Lo que ves son n triángulos iguales, cada uno con base ℓ y altura a. Multiplicá el área de uno por n y reagrupá: n·ℓ es el perímetro, y te queda P·a ÷ 2. Reconstruida la fórmula, no hay lista de fórmulas que recuperar, porque esta sola sirve para todos los polígonos regulares.
El mismo dibujo te devuelve los ángulos. Los n triángulos se reparten los 360° del centro, así que el ángulo central es 360° ÷ n. Y cada triángulo es isósceles, de modo que el ángulo interno del polígono es el doble de uno de los ángulos de la base.
La tercera idea que ordena: el radio llega a la esquina, la apotema llega al lado. Con esa frase corta se evita el error más caro del tema, y con ella también se entiende por qué R siempre resulta mayor que a en la misma figura.