Conjuntos numéricos, dominio, ámbito y criterio de una función

Al terminar vas a poder decidir a qué conjunto numérico pertenece un número y por qué, distinguir dominio de ámbito en una función, y determinar el dominio máximo de una función mirando dónde la operación se rompe.

Los conjuntos numéricos crecen por necesidad

Los conjuntos no se inventaron en desorden: cada uno aparece porque en el anterior había una operación que no se podía hacer.

Con los naturales (ℕ) contás: 0, 1, 2, 3… Pero 3 − 7 no tiene respuesta ahí. Para poder restar siempre aparecen los enteros (ℤ), que agregan los negativos. En los enteros no se puede dividir 3 entre 4, así que aparecen los racionales (ℚ): todo número que se escribe como fracción de enteros con denominador distinto de cero. Pero √2 no es fracción de enteros, y tampoco π. Esos son los irracionales (𝕀). Juntando racionales e irracionales se completa la recta: los reales (ℝ).

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Cada conjunto contiene al anterior, y los irracionales son justamente lo que le falta a ℚ para llenar la recta.

Un truco de reconocimiento con razón detrás: un número es racional si su expresión decimal termina o se repite en ciclo. 0,75 termina; 0,333… se repite; ambos son fracciones. En cambio √2 = 1,41421356… no termina ni se repite, y por eso no hay fracción que lo dé.

Qué es una función y qué la distingue de una relación cualquiera

Una relación asocia elementos de un conjunto con elementos de otro. Una función es una relación con una condición extra: a cada elemento de partida le corresponde uno y solo un elemento de llegada.

Esa condición es lo único que hay que revisar. Si un mismo valor de x aparece asociado a dos valores de y distintos, no es función. En una gráfica, eso se ve con la prueba de la recta vertical: si alguna vertical corta el dibujo en más de un punto, hay un x con dos imágenes, y no es función.

Dominio, ámbito y criterio: tres cosas distintas

El criterio es la máquina. El dominio es qué le podés meter. El ámbito es qué sale de verdad, no lo que podría salir en teoría.

Cómo se busca el dominio máximo

Cuando el enunciado no dice cuál es el dominio, se toma el más grande posible dentro de ℝ: todos los reales excepto donde la operación no existe. Y en las funciones de este nivel, la operación se rompe solo en tres lugares:

1. Denominador igual a cero. No se puede dividir entre cero, entonces se excluyen las raíces del denominador.
2. Raíz de índice par de un número negativo. En ℝ no existe, entonces se exige que lo de adentro sea mayor o igual que cero.
3. Logaritmo de un número menor o igual que cero. El logaritmo solo está definido para argumentos positivos.

No hay una cuarta causa en este nivel. Por eso el procedimiento es siempre el mismo: mirar la fórmula, ubicar si hay división, raíz par o logaritmo, plantear la condición y resolverla.

Ejemplos resueltos

1. Determiná el dominio máximo de f(x) = 1 ÷ (x − 3). Hay división, así que el denominador no puede ser cero: x − 3 ≠ 0, o sea x ≠ 3. El dominio es ℝ − {3}. Cualquier otro real sirve, incluido el 0, que da f(0) = 1 ÷ (−3).

2. Hallá el dominio y el ámbito de g(x) = √(x − 5). La raíz es de índice par, entonces x − 5 ≥ 0, es decir x ≥ 5. Dominio: [5, +∞[. Para el ámbito: la raíz cuadrada nunca devuelve negativos, y cuando x = 5 da 0, y creciendo x la raíz crece sin tope. Ámbito: [0, +∞[.

3. Dominio y ámbito de h(x) = x². No hay división, ni raíz, ni logaritmo: se puede elevar al cuadrado cualquier real. Dominio: ℝ. Pero ningún cuadrado es negativo, y el 0 sí se alcanza con x = 0. Ámbito: [0, +∞[. Este es el caso que muestra que dominio y ámbito son cosas separadas: uno es todo ℝ y el otro no.

4. Determiná el dominio de f(x) = √(x − 5) ÷ (x − 8). Hay dos restricciones a la vez y las dos tienen que cumplirse. Por la raíz: x ≥ 5. Por el denominador: x ≠ 8. El dominio es [5, 8[ ∪ ]8, +∞[. El error típico acá es atender solo una de las dos condiciones.

5. Si f(x) = 3x − 4, calculá f(2), f(−1) y el valor de x tal que f(x) = 11. f(2) = 3·2 − 4 = 2. f(−1) = 3·(−1) − 4 = −7. Para lo último resolvemos 3x − 4 = 11, entonces 3x = 15 y x = 5. Comprobación: f(5) = 15 − 4 = 11. Correcto. Fijate en la diferencia: en los dos primeros te dan la entrada y buscás la salida; en el tercero te dan la salida y buscás la entrada.

Los errores que más se cobran

1. Cambiar dominio por ámbito. El dominio vive en el eje horizontal y el ámbito en el vertical. Se resuelve preguntando «¿esto entra o sale?»: lo que entra a la máquina es dominio.
2. Excluir el cero del dominio por costumbre. El cero solo se excluye si anula un denominador o si cae fuera de una raíz o un logaritmo. En f(x) = x² el cero está perfectamente admitido.
3. Poner «mayor que cero» donde va «mayor o igual». En una raíz cuadrada el cero sí se admite, porque √0 = 0 existe. En un logaritmo, en cambio, el cero no sirve. La diferencia sale de qué operación se está haciendo, no de una convención.
4. Atender una sola restricción cuando hay varias. Si la fórmula tiene raíz y denominador, el dominio es la intersección de las dos condiciones, no una de ellas.
5. Creer que todo número con decimales es racional. 3,14 es racional porque termina; π no lo es porque su desarrollo no termina ni se repite. Lo que decide es el comportamiento del decimal, no que tenga coma.
6. Confundir relación con función. Toda función es una relación, pero no al revés. Basta un valor de entrada con dos salidas para que deje de ser función, y eso lo detecta la recta vertical.

Clave de análisis

Los conjuntos numéricos se reconstruyen preguntando qué operación no se podía hacer antes: restar libremente exige los enteros, dividir exige los racionales, y medir la diagonal del cuadrado unidad exige los irracionales. Con esa cadena volvés a armar el orden ℕ, ℤ, ℚ, ℝ aunque se te haya borrado.

Para dominio y ámbito, quedate con la imagen de la máquina: el criterio es lo que hace, el dominio es lo que acepta a la entrada y el ámbito es lo que efectivamente sale. Y para buscar el dominio máximo, el chequeo es corto: división, raíz de índice par, logaritmo. Si la fórmula no tiene ninguna de las tres, el dominio es todo ℝ; si tiene alguna, se plantea la condición que corresponde y se intersecan todas.

La razón de fondo es una sola y conviene tenerla clara: el dominio no se elige, se descubre. Está determinado por dónde la fórmula tiene sentido, no por gusto de quien resuelve.