Área 2. Relaciones y álgebra
Cómo elegir el modelo matemático de una situación
Al terminar vas a poder decidir si una situación se modela con una función lineal, cuadrática, exponencial o de proporcionalidad inversa, usar las diferencias de una tabla para descartar modelos, y justificar tu elección con el comportamiento del enunciado.
Modelar es traducir, y la traducción se elige
Un modelo matemático es una función que describe cómo se comporta una situación real. No hay un modelo verdadero escondido: hay uno que se ajusta mejor a lo que el enunciado describe. Por eso el trabajo no empieza con cuentas, empieza con una pregunta:
¿Cómo cambia la cantidad de salida cuando la de entrada aumenta de uno en uno? La respuesta a esa pregunta separa los cuatro modelos.
Si crece sumando siempre lo mismo, es lineal. Si el aumento va creciendo de forma pareja, es cuadrática. Si crece multiplicándose por el mismo factor, es exponencial. Si al aumentar una cantidad la otra baja de modo que el producto se mantiene, es proporcionalidad inversa.
Los cuatro modelos y su marca
| Modelo | Forma | Marca en la tabla |
|---|---|---|
| Lineal | f(x) = m·x + b | Diferencias constantes |
| Cuadrática | f(x) = a·x² + b·x + c | Segundas diferencias constantes |
| Exponencial | f(x) = a · bˣ | Razón constante entre valores seguidos |
| Inversa | f(x) = k ÷ x | Producto x·y constante |
La columna de la derecha es la herramienta práctica. Restás cada valor con el anterior: si te da siempre lo mismo, es lineal. Si no, restás otra vez esas diferencias: si ahora sí queda constante, es cuadrática. Si al dividir cada valor entre el anterior sale siempre el mismo número, es exponencial. Y si al multiplicar x por y siempre sale lo mismo, es inversa.
De dónde sale cada marca
La marca no es un truco: sale de la forma de la función.
En la lineal, pasar de x a x + 1 suma m, porque m(x + 1) + b menos mx + b da m. Siempre m, sin importar dónde estés: por eso la diferencia es constante y m es la razón de cambio.
En la cuadrática, la diferencia entre valores seguidos no es constante, pero crece de manera lineal, así que la diferencia de las diferencias sí se estabiliza. Esa segunda diferencia vale 2a.
En la exponencial, pasar de x a x + 1 multiplica por b, porque a·bˣ⁺¹ es a·bˣ multiplicado por b. Por eso lo que se repite no es una resta sino una división. Si b > 1 hay crecimiento; si b está entre 0 y 1, hay decrecimiento.
En la inversa, el producto x·y vale siempre k por definición: y = k ÷ x es lo mismo que x·y = k.
Dónde aparece cada uno en la vida real
- Lineal: un cobro fijo más un cobro por unidad. La tarifa de un taxi, el recibo del agua con cargo básico, un salario por hora.
- Cuadrática: áreas en función de una medida, y trayectorias de algo lanzado al aire, donde hay un máximo y luego baja.
- Exponencial: todo lo que crece o decrece por porcentaje del valor actual. Interés compuesto, población, una deuda que acumula intereses.
- Inversa: trabajos donde más gente hace lo mismo en menos tiempo, o velocidad y tiempo para recorrer una distancia fija.
El detalle que decide entre lineal y exponencial es si el aumento es una cantidad fija o un porcentaje. «Sube 20 000 colones al año» es lineal; «sube 5 % al año» es exponencial, porque el 5 % de un número más grande es más plata.
Ejemplos resueltos
1. Un taxi cobra 700 colones de banderazo y 500 por kilómetro. Escribí el modelo y calculá el costo de 12 km. Hay un cargo fijo y otro por unidad: es lineal. El modelo es f(x) = 500x + 700. Para 12 km: 500·12 + 700 = 6 000 + 700 = 6 700 colones.
2. Decidí qué modelo corresponde a esta tabla: x = 1, 2, 3, 4 con y = 3, 7, 13, 21. Primeras diferencias: 7 − 3 = 4, 13 − 7 = 6, 21 − 13 = 8. No son constantes, así que no es lineal. Segundas diferencias: 6 − 4 = 2 y 8 − 6 = 2. Constantes: es cuadrática. Como la segunda diferencia es 2a = 2, tenemos a = 1. Probando f(x) = x² + x + 1: f(1) = 3, f(2) = 7, f(3) = 13, f(4) = 21. Los cuatro coinciden.
3. Un cultivo de bacterias se duplica cada hora y empieza con 200. ¿Cuántas hay a las 5 horas? «Se duplica» es multiplicar por un factor fijo: exponencial, con modelo f(t) = 200 · 2ᵗ. A las 5 horas: 200 · 2⁵ = 200 · 32 = 6 400 bacterias.
4. 12 trabajadores levantan una tapia en 10 días. Con el mismo ritmo, ¿cuánto tardan 15? Más trabajadores, menos días: proporcionalidad inversa. El producto se conserva: k = 12 · 10 = 120. Entonces, con 15 trabajadores, el tiempo es 120 ÷ 15 = 8 días. Control: 15 · 8 = 120, igual que 12 · 10.
5. Una cuenta rinde 3 % anual sobre el saldo. Si se depositan 500 000 colones, ¿qué modelo la describe y cuánto hay a los 2 años? El aumento es un porcentaje del saldo, no una cantidad fija: exponencial, con f(t) = 500 000 · (1,03)ᵗ. A los 2 años: 500 000 · 1,03 · 1,03 = 515 000 · 1,03 = 530 450 colones.
Los errores que más se cobran
- Llamar lineal a un crecimiento por porcentaje. «Aumenta 5 % cada año» no suma lo mismo cada año: suma más cuando la base es mayor. Confundirlo subestima el resultado a largo plazo.
- Mirar solo las primeras diferencias. Si no son constantes, muchos descartan y adivinan. Falta el paso de calcular las segundas, que es lo que identifica la cuadrática.
- Poner el factor exponencial mal. Un aumento del 3 % da base 1,03, no 0,03 ni 3. La base es «uno más la tasa», porque se conserva lo que había y se le agrega la parte nueva.
- Usar regla de tres directa en una situación inversa. Si más gente hace el trabajo en menos tiempo, multiplicar en cruz como si fuera directo da un absurdo: más trabajadores tardando más.
- Olvidar el término independiente. En el taxi, el banderazo es el valor cuando x = 0. Dejarlo fuera desplaza toda la recta y falla en todos los kilometrajes.
- Elegir el modelo por la forma del dibujo sin revisar los datos. Una exponencial y una cuadrática creciente se parecen en un tramo corto. La tabla, con diferencias y razones, decide sin ambigüedad.
Clave de análisis
Frente a cualquier situación, preguntá cómo cambia la salida cuando la entrada avanza un paso. Si suma siempre lo mismo, es lineal y ese «lo mismo» es la pendiente. Si multiplica siempre por lo mismo, es exponencial y ese factor es la base. Si el aumento crece de forma pareja, es cuadrática. Y si una sube mientras la otra baja dejando el producto quieto, es inversa. Con esa sola pregunta reconstruís la tabla completa.
Cuando te den datos en lugar de un relato, aplicá el orden de pruebas: primeras diferencias, segundas diferencias, razón, producto. Está puesto de lo más simple a lo más raro, y en cuanto una prueba da constante, ya tenés el modelo y podés dejar de probar.
Y quedate con el criterio que más se cobra en el examen: cantidad fija contra porcentaje. Esa distinción sola separa la mitad de los casos que se prestan a confusión, y se reconoce en el enunciado antes de hacer una sola cuenta.