Sólidos y sus secciones planas

Al terminar vas a poder predecir qué figura plana aparece al cortar un sólido con un plano, distinguir prismas de pirámides y cilindros de conos por sus caras, y explicar por qué una esfera siempre da un círculo se corte como se corte.

Cortar es preguntar qué comparten un sólido y un plano

Una sección plana es la figura que queda cuando un plano atraviesa un sólido. Pensá en un queso palmito que cortás con un cuchillo: la cara nueva que aparece es la sección. Si el cuchillo entra derecho, sale una cosa; si entra ladeado, sale otra.

La sección no la decide solo el sólido ni solo el plano: la deciden los dos juntos, y sobre todo la inclinación del plano respecto de la base o del eje del sólido. Esa es la variable que hay que mirar siempre.

Cambiar la inclinación del corte cambia la sección. Por eso un mismo cilindro puede darte un círculo, una elipse o un rectángulo.

Primero, cómo se clasifican los sólidos

Hay dos grandes familias, y se separan por si el borde es recto o curvo.

Dentro de los poliedros, la diferencia entre prisma y pirámide es limpia: el prisma tiene dos bases iguales y paralelas unidas por caras laterales; la pirámide tiene una sola base y todas las caras laterales llegan a un mismo punto, el vértice o ápice. Lo mismo pasa con los redondos: el cilindro tiene dos bases circulares, el cono tiene una y termina en punta, y la esfera no tiene base.

En cualquier poliedro convexo se cumple la relación de Euler: V − A + C = 2, donde V son los vértices, A las aristas y C las caras. Sirve de control: en el cubo, 8 − 12 + 6 = 2.

Las secciones del prisma y de la pirámide

En un prisma, si el plano es paralelo a las bases, la sección es igual a la base: en un cubo, un cuadrado; en un prisma hexagonal, un hexágono. La razón es que el prisma es la misma base repetida a lo largo de toda su altura.

Si el plano es oblicuo, la sección se estira y aparecen figuras distintas. En un cubo, un plano que pase por tres vértices que comparten una esquina recorta un triángulo equilátero, porque los tres lados del corte son diagonales de caras iguales.

En una pirámide, un corte paralelo a la base da un polígono semejante a la base pero más chico, y cuanto más arriba se corta, más chico sale. Un corte que pase por el vértice y baje a la base da un triángulo, porque de un lado el corte se cierra en el ápice.

Las secciones de los cuerpos redondos

En el cilindro:

• Plano paralelo a las bases: círculo del mismo tamaño que la base.
• Plano que contiene al eje o es paralelo al eje: rectángulo.
• Plano oblicuo que entra y sale por la superficie lateral: elipse.

En el cono, la inclinación del plano respecto de la superficie lateral genera las llamadas secciones cónicas: círculo cuando el corte es paralelo a la base, elipse cuando es oblicuo pero corta toda la superficie, y parábola o hipérbola en cortes más inclinados. Un plano que pasa por el vértice y por la base da un triángulo.

En la esfera hay un solo resultado posible: siempre un círculo. Y la razón es la definición misma: todos los puntos de la esfera están a igual distancia del centro, así que cualquier plano que la atraviese recorta puntos que son todos equidistantes de un mismo punto del plano. Cuando el plano pasa por el centro, el círculo tiene el radio máximo y se llama círculo mayor.

Ejemplos resueltos

1. Cortás un cubo con un plano paralelo a una cara. ¿Qué figura sale? Un cuadrado igual a la cara. El cubo es un prisma cuya base es un cuadrado, y un corte paralelo a la base reproduce la base tal cual, sin importar a qué altura lo hagas.

2. Un cilindro de radio 4 cm se corta con un plano que pasa por su eje. El cilindro mide 10 cm de alto. Describí la sección y calculá su área. La sección es un rectángulo. Su base es el diámetro, o sea 2 · 4 = 8 cm, y su altura es la altura del cilindro, 10 cm. Área = 8 · 10 = 80 cm². El error clásico acá es poner 4 en vez de 8: el corte por el eje atraviesa el círculo entero, no el radio.

3. Una pirámide de base cuadrada se corta paralelo a la base, a media altura. ¿Qué sale y cómo se compara con la base? Sale un cuadrado semejante a la base. Como el corte va a media altura, cada lado mide la mitad del lado de la base, y el área de la sección es la cuarta parte del área de la base, porque las áreas de figuras semejantes van con el cuadrado de la razón.

4. ¿Puede una sección de una esfera ser una elipse? No. Cualquier plano que corte una esfera produce un círculo. Sale de la definición de esfera: todos sus puntos equidistan del centro, y esa simetría no distingue direcciones, así que ninguna dirección de corte puede alargar la figura.

5. Un prisma tiene 6 caras y 12 aristas. ¿Cuántos vértices tiene? Usamos V − A + C = 2: V − 12 + 6 = 2, entonces V = 8. Cuadra con lo esperado: un prisma de 6 caras tiene bases cuadradas, y un prisma de base cuadrada tiene 4 vértices arriba y 4 abajo.

Los errores que más se cobran

1. Creer que la sección siempre se parece a la base. Solo pasa con cortes paralelos a la base. Basta inclinar el plano para que aparezca otra figura, y en un cubo pueden salir hasta triángulos y hexágonos.
2. Confundir prisma con pirámide. La diferencia no es la forma de la base: es que el prisma tiene dos bases paralelas y la pirámide una más un vértice donde todo converge.
3. Usar el radio en vez del diámetro en la sección axial del cilindro. El corte por el eje abarca el círculo completo, de borde a borde. Poner el radio deja el área en la mitad.
4. Pensar que una sección oblicua tiene la misma área que una paralela. El corte inclinado es más largo, y por eso la elipse del cilindro tiene mayor área que el círculo de su base.
5. Olvidar contar las bases como caras. En la relación de Euler y al describir un sólido, las bases son caras. Un prisma triangular tiene 5 caras: 3 laterales y 2 bases.
6. Describir la sección sin decir cómo entra el plano. Decir «el corte de un cono es una elipse» no es correcto por sí solo; depende de la inclinación. La respuesta completa siempre nombra la posición del plano.

Clave de análisis

Para reconstruir cualquier caso, hacé dos preguntas en este orden. Primero: ¿el plano es paralelo a la base? Si lo es, la sección repite la base en los prismas y cilindros, y la reduce manteniendo la forma en pirámides y conos. Segundo: ¿el plano es paralelo al eje o pasa por él? Ahí aparecen los rectángulos en el cilindro y los triángulos en el cono y en la pirámide. Todo lo que queda en medio son los cortes oblicuos, y esos alargan la figura: el círculo se vuelve elipse.

La esfera se sale de la tabla porque no tiene base ni eje que la distinga. Esa falta de dirección privilegiada es exactamente la razón de que su sección sea siempre un círculo, y de que el círculo más grande aparezca cuando el plano pasa por el centro.