Área 1. Geometría
Simetría axial y simetría central: cómo reconocerlas
Al terminar vas a poder decidir si una figura tiene eje de simetría, centro de simetría, las dos o ninguna, contar los ejes de un polígono regular sin dibujarlos todos, y calcular las coordenadas de un punto simétrico.
Simetría es que la figura se repone sola
Una figura tiene simetría cuando existe un movimiento que la lleva sobre sí misma: la movés y queda igual que antes, ocupando el mismo lugar. No es que se parezca: es que coincide.
Los dos movimientos que interesan acá son la reflexión y el giro de media vuelta. Cada uno da un tipo de simetría, y de ahí salen los dos nombres.
Las dos simetrías, una al lado de la otra
| Simetría axial | Simetría central | |
|---|---|---|
| Elemento | Una recta (el eje) | Un punto (el centro) |
| Movimiento | Doblar por el eje | Girar 180° |
| Cada punto | Equidista del eje, perpendicular | El centro es el punto medio de P y P' |
En la simetría axial, el eje funciona como el doblez de una hoja: si doblás por ahí, las dos mitades se calzan. El segmento que une un punto con su simétrico corta el eje perpendicularmente y por la mitad.
En la simetría central, no hay doblez: hay giro. El punto O es el punto medio del segmento que une cada punto con su imagen. Por eso la simetría central es exactamente lo mismo que una rotación de 180° alrededor de O.
La simetría axial invierte la figura como un espejo. La central no la invierte: la pone de cabeza. Por eso no son la misma cosa aunque a veces coincidan en la misma figura.
Cómo se cuentan los ejes de un polígono regular
Acá hay una regla con razón detrás, no una lista.
Un polígono regular de n lados tiene exactamente n ejes de simetría. Sale de contar dónde pueden pasar: por cada vértice y su opuesto, o por el punto medio de cada lado y su opuesto. Si n es impar, cada eje pasa por un vértice y por el punto medio del lado de enfrente: eso da n ejes. Si n es par, hay n÷2 ejes vértice-vértice y n÷2 ejes lado-lado: también n.
Y sobre el centro: un polígono regular tiene centro de simetría solo si n es par. La razón es que girar 180° manda cada vértice al lugar del vértice «de enfrente»; para que haya uno de enfrente, los vértices tienen que venir en pares. En un triángulo equilátero, enfrente de un vértice hay un lado, no un vértice: por eso no tiene simetría central, aunque tenga tres ejes.
Las fórmulas en el plano cartesiano
Si trabajás con coordenadas, las simetrías más pedidas son:
- Respecto del eje x: (x, y) → (x, −y)
- Respecto del eje y: (x, y) → (−x, y)
- Respecto del origen (simetría central con centro (0,0)): (x, y) → (−x, −y)
- Respecto de un centro (h, k) cualquiera: (x, y) → (2h − x, 2k − y)
La última contiene a la anterior: si h = 0 y k = 0, queda (−x, −y). Y sale de exigir que (h, k) sea el punto medio: el promedio de x y de 2h − x es justamente h.
Ejemplos resueltos
1. ¿Qué simetrías tiene un rectángulo que no es cuadrado? Tiene dos ejes: las rectas que pasan por los puntos medios de los lados opuestos. Las diagonales no son ejes, porque al doblar por una diagonal las mitades no se calzan (los lados son de largos distintos). Y sí tiene centro de simetría: el cruce de las diagonales, porque girar 180° devuelve el rectángulo a su lugar.
2. ¿Y un triángulo equilátero? Tiene tres ejes, uno por cada vértice hacia el punto medio del lado opuesto, porque n = 3 y hay n ejes. No tiene centro de simetría, porque 3 es impar: al girar 180° un vértice apuntaría hacia donde antes había un lado, y la figura no coincidiría consigo misma.
3. Clasificá las letras mayúsculas H, N y A según sus simetrías. La H tiene eje vertical y eje horizontal, y además centro de simetría (el cruce de los dos ejes). La N no tiene ningún eje, pero al girarla 180° queda igual: tiene solo simetría central. La A tiene un eje vertical y ninguna simetría central, porque de cabeza no se ve igual.
4. Hallá el simétrico de P(5, −2) respecto del centro C(1, 3). Aplicamos (2h − x, 2k − y) con h = 1 y k = 3: (2·1 − 5, 2·3 − (−2)) = (2 − 5, 6 + 2) = P'(−3, 8). Comprobación: el punto medio entre (5, −2) y (−3, 8) es ((5 + (−3))÷2, (−2 + 8)÷2) = (1, 3), que es C. Correcto.
5. ¿Cuántos ejes de simetría tiene un hexágono regular y tiene centro? Seis ejes, porque n = 6: tres pasan por pares de vértices opuestos y tres por puntos medios de lados opuestos. Sí tiene centro de simetría, porque 6 es par y cada vértice tiene un vértice enfrente.
Los errores que más se cobran
- Tomar las diagonales de un rectángulo como ejes. Un eje tiene que dejar las dos mitades calzadas; en el rectángulo alargado no lo hace. El error nace de pensar que cualquier recta que pasa por el centro sirve, y el centro solo garantiza simetría central.
- Creer que toda figura con ejes tiene centro. El triángulo equilátero lo desmiente: tres ejes y ningún centro. Son dos propiedades independientes, y la paridad de n decide la segunda.
- Confundir simetría central con simetría axial respecto de un punto. Un punto no sirve de espejo. La central es un giro de 180°, y por eso no invierte el sentido de recorrido de la figura, mientras que la axial sí.
- Aplicar (−x, −y) cuando el centro no es el origen. Esa fórmula solo vale para el origen. Con centro (h, k) hay que usar (2h − x, 2k − y), que es la que garantiza que el centro quede en el punto medio.
- Contar ejes «de más» en figuras irregulares. Un trapecio isósceles tiene un solo eje; un paralelogramo cualquiera no tiene ninguno, aunque sí tenga centro. La única prueba válida es doblar mentalmente y ver si calza.
- Olvidar que el eje deja quietos sus propios puntos. Los puntos que están sobre el eje son sus propios simétricos. Marcarlos como «puntos que no se transformaron» es leer mal la definición.
Clave de análisis
Para decidir qué simetrías tiene una figura, hacé dos pruebas concretas, en este orden. Primera: ¿hay alguna recta por la que se pueda doblar y que las mitades calcen? Cada recta que cumple eso es un eje. Segunda: ¿girándola media vuelta queda exactamente igual? Si sí, hay centro de simetría, y el centro es el punto alrededor del cual girás.
Para los polígonos regulares, las dos preguntas ya tienen respuesta general: hay n ejes siempre, y hay centro solo cuando n es par. Esa segunda parte se reconstruye mirando si enfrente de cada vértice hay otro vértice o hay un lado. Con vértice enfrente, hay centro; con lado enfrente, no.
Y en coordenadas, todo se reduce a una idea: el simétrico es el punto que deja al eje o al centro justo en medio. Del «justo en medio» sale el cambio de signo en las fórmulas del origen y sale también la fórmula del centro (h, k), sin tener que tratarlas como reglas separadas.