Cómo decidir usando datos y probabilidades

Al terminar vas a poder elegir entre media y mediana según cómo estén repartidos los datos, usar la dispersión para comparar dos opciones que tienen el mismo promedio, y calcular el valor esperado de una decisión con riesgo.

Decidir con datos es resumir sin mentir

Cuando hay que elegir entre dos opciones, casi nunca alcanza con mirar todos los datos uno por uno. Se resumen. Y todo resumen pierde información: por eso hay que saber cuál resumen sirve para cuál pregunta.

Las medidas se reparten en dos trabajos distintos:

• Las medidas de posición —media, mediana, moda— dicen por dónde anda el centro de los datos.
• Las medidas de dispersión —rango, desviación estándar— dicen qué tan repartidos están alrededor de ese centro.

Dos conjuntos pueden tener exactamente el mismo promedio y ser completamente distintos. Por eso una decisión seria nunca mira solo el centro: mira también la dispersión.

Cuándo la media miente y la mediana no

La media suma todo y reparte en partes iguales. Como usa todos los valores, un dato extremo la arrastra. La mediana es el valor que queda en el medio al ordenar; solo le importa la posición, así que un extremo casi no la mueve.

De ahí sale el criterio de elección, que no hay que aprender aparte:

• Si los datos están parejos, media y mediana andan cerca y la media es un buen resumen.
• Si hay valores muy altos o muy bajos que desentonan, la mediana representa mejor al grupo típico.

Por eso, cuando se habla de salarios o de precios de vivienda, se suele reportar la mediana: unos pocos valores altísimos inflan la media y dan una idea equivocada de lo que gana la mayoría.

La moda es el valor que más se repite. Es la única que sirve con datos que no son números —la talla más vendida, el color más pedido—, y también la única que puede no ser única.

La dispersión decide cuando los centros empatan

Si dos opciones tienen el mismo promedio, la decisión se toma con la dispersión, y depende de qué te importe más:

• Cuando necesitás previsibilidad —llegar a una cita, cumplir un plazo—, conviene la opción de menor dispersión, aunque su promedio no sea el mejor.
• Cuando podés absorber la variación y lo que importa es el total acumulado a la larga, el promedio pesa más.

El rango es la resta entre el mayor y el menor: fácil de calcular, pero solo mira dos datos. La desviación estándar toma en cuenta todos y por eso es más confiable, aunque cueste más calcularla.

El valor esperado: cuánto deja una decisión repetida muchas veces

Cuando hay azar de por medio, la herramienta es el valor esperado: se multiplica cada resultado posible por su probabilidad y se suman los productos.

Valor esperado = resultado₁ · P₁ + resultado₂ · P₂ + …

No predice lo que va a pasar una vez. Dice cuánto deja en promedio si la situación se repite muchas veces. Un valor esperado negativo significa que, a la larga, se pierde.

Ejemplos resueltos

1. En un taller los salarios mensuales son 350 000, 380 000, 400 000, 420 000 y 3 500 000 colones. ¿Qué medida representa mejor lo que gana la gente? Media: (350 000 + 380 000 + 400 000 + 420 000 + 3 500 000) ÷ 5 = 5 050 000 ÷ 5 = 1 010 000. Mediana: ordenados, el del medio es 400 000. Cuatro de los cinco ganan menos que la media, así que la media no representa al grupo: el salario del dueño la arrastró. La mediana es la medida adecuada acá.

2. Dos rutas de bus tardan, en promedio, lo mismo. La ruta A varía entre 25 y 35 minutos; la B, entre 15 y 50. Tenés una cita importante. ¿Cuál tomás? El rango de A es 35 − 25 = 10 minutos; el de B es 50 − 15 = 35 minutos. Con el mismo promedio, A es mucho más previsible. Para una cita con hora fija conviene la ruta A: el riesgo de llegar tardísimo con B es real, y el posible ahorro de tiempo no compensa.

3. Una rifa vende 500 números a 2 000 colones cada uno y sortea un premio de 500 000. ¿Cuál es el valor esperado para quien compra un número? La probabilidad de ganar es 1 ÷ 500 = 0,002. Ganancia si gana: 500 000 − 2 000 = 498 000. Pérdida si no: −2 000, con probabilidad 499 ÷ 500 = 0,998. Valor esperado = 498 000 · 0,002 + (−2 000) · 0,998 = 996 − 1 996 = −1 000 colones. A la larga, cada número comprado deja una pérdida promedio de mil colones.

4. Una soda vende 40 casados, 25 gallo pinto y 40 arroz con pollo en un día. ¿Qué medida usa el dueño para decidir qué preparar más? Ni media ni mediana: los platos no son números que se puedan promediar. Usa la moda, que acá no es única: hay dos modas, casado y arroz con pollo, con 40 cada uno. La decisión es reforzar esos dos.

5. Un cultivo A produce 100, 100, 100, 100 y 100 sacos en cinco cosechas. El B produce 40, 60, 100, 140 y 160. Compará y decidí. Las dos medias son iguales: A da 500 ÷ 5 = 100 y B da (40 + 60 + 100 + 140 + 160) ÷ 5 = 500 ÷ 5 = 100. Pero A tiene rango 0 y B tiene rango 160 − 40 = 120. Si el productor necesita una cantidad segura cada cosecha para cumplir un contrato, A. Si le importa solo el total de cinco cosechas, da igual.

Los errores que más se cobran

1. Usar la media cuando hay valores extremos. La media reparte, y por eso un solo dato enorme la sube para todos. Si al mirar los datos uno desentona mucho, la mediana informa mejor.
2. Comparar dos grupos solo por el promedio. Promedios iguales pueden esconder realidades opuestas, como los dos cultivos del ejemplo 5. Sin dispersión, la comparación está incompleta.
3. Olvidar restar el costo al calcular el valor esperado. Si pagaste 2 000 por el número, ganar el premio deja 498 000, no 500 000. Ignorarlo hace ver como buena una apuesta que no lo es.
4. Interpretar el valor esperado como lo que va a pasar. Nadie pierde exactamente mil colones en una rifa: o pierde dos mil o gana el premio. El valor esperado describe el promedio a la larga, no un caso.
5. Calcular la mediana sin ordenar los datos. La mediana es el valor del medio una vez ordenados. Tomar el del medio en la lista original da un número cualquiera.
6. Creer que la moda siempre es una sola. Puede haber dos o más, o ninguna si todos los valores aparecen la misma cantidad de veces. Forzar una única moda inventa información.

Clave de análisis

Frente a una decisión con datos, resolvé dos preguntas en orden. La primera: ¿hay valores que desentonan? Si los hay, la mediana describe mejor al grupo típico; si no, la media sirve y además aprovecha toda la información. La segunda: ¿los promedios empatan? Si empatan, la decisión la define la dispersión, y el lado que conviene depende de si necesitás previsibilidad o de si podés absorber la variación.

Cuando entra el azar, el resumen que ordena es el valor esperado: cada resultado por su probabilidad, todo sumado. Si sale negativo, la operación repetida muchas veces pierde, por más que exista un caso ganador llamativo. Es exactamente la razón por la que las rifas y las loterías se sostienen.

Y por encima de todo, acordate de que ninguna medida sola describe un conjunto de datos. Centro y dispersión son dos preguntas distintas, y las decisiones que solo miran una de las dos son las que salen caras.