Propiedades de la probabilidad: axiomas y complemento

Al terminar vas a poder decidir si una asignación de probabilidades es válida o imposible, usar el complemento para resolver problemas de «al menos uno», y aplicar la regla de la suma distinguiendo eventos compatibles de incompatibles.

De dónde salen las reglas

La probabilidad no es una colección de fórmulas sueltas. Se apoya en tres afirmaciones básicas —los axiomas— y todo lo demás se deduce de ellas.

Antes, tres palabras. El experimento aleatorio es la acción cuyo resultado no se puede anticipar: tirar un dado. El espacio muestral (S) es el conjunto de todos los resultados posibles: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Un evento es cualquier subconjunto de S: «sale par» es {2, 4, 6}.

Los axiomas son estos:

1. La probabilidad de cualquier evento está entre 0 y 1. Sale de que un evento es parte de S: no puede haber más casos favorables que casos posibles.
2. P(S) = 1. El evento «pasa algo de lo que puede pasar» es seguro.
3. Si dos eventos no pueden ocurrir juntos, la probabilidad de que ocurra uno u otro es la suma de sus probabilidades.

Todo lo demás —el complemento, la regla de la suma general, que P del conjunto vacío sea 0— se deduce de esos tres. No hay que tratarlas como reglas independientes.

Lo que se deduce enseguida

La probabilidad del imposible es 0. El evento vacío no contiene ningún resultado; si tuviera probabilidad positiva, algo sin casos favorables ocurriría.

El complemento: P(A′) = 1 − P(A). Un evento y su complemento no pueden ocurrir juntos y entre los dos cubren todo S. Por el tercer axioma, P(A) + P(A′) = P(S) = 1, y de ahí se despeja. Esta igualdad es la herramienta más útil del tema.

La regla de la suma general: para dos eventos cualesquiera,

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

La resta no es un detalle: los resultados que están en los dos eventos se contarían dos veces si solo sumaras. Cuando los eventos son incompatibles o mutuamente excluyentes, la intersección está vacía, su probabilidad es 0, y la fórmula se reduce a P(A) + P(B). Es decir: la regla del tercer axioma es un caso particular de la general.

Cuándo conviene ir por el complemento

Hay un aviso que casi nunca falla: cuando el enunciado dice «al menos uno», el camino corto es el complemento.

La razón es de conteo. «Al menos un seis en dos dados» abarca muchos casos: seis en el primero, seis en el segundo, seis en los dos. Su complemento es un solo escenario limpio: ningún seis. Es más rápido calcular lo único que no querés y restarlo de 1.

Cómo se detecta una asignación imposible

Con los axiomas se revisan las probabilidades que alguien propone:

• Ninguna puede ser negativa ni mayor que 1.
• Si los eventos cubren todo S y son incompatibles entre sí, sus probabilidades tienen que sumar exactamente 1.
• Dos eventos incompatibles no pueden tener probabilidades que sumen más de 1, porque su unión tendría probabilidad mayor que la del espacio entero.

Ejemplos resueltos

1. Se tira un dado corriente. Calculá la probabilidad de que salga par y la de que no salga 5. Par es {2, 4, 6}: tres casos favorables de seis, o sea 3 ÷ 6 = 1/2. Para «no salga 5» usamos el complemento: P(sale 5) = 1/6, entonces P(no sale 5) = 1 − 1/6 = 5/6. Contar directamente daría {1, 2, 3, 4, 6}, cinco de seis: el mismo resultado.

2. Si P(A) = 0,4, P(B) = 0,5 y P(A ∩ B) = 0,2, hallá P(A ∪ B) y P(A′). Regla de la suma: P(A ∪ B) = 0,4 + 0,5 − 0,2 = 0,7. Complemento: P(A′) = 1 − 0,4 = 0,6. Fijate que sin restar la intersección habría dado 0,9, contando dos veces el pedazo común.

3. Se tiran dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de sacar al menos un 6? Vamos por el complemento. Que un dado no sea 6 tiene probabilidad 5/6, y los dos dados son independientes, así que «ningún 6» tiene probabilidad (5/6) · (5/6) = 25/36. Entonces P(al menos un 6) = 1 − 25/36 = 11/36, que es aproximadamente 0,306.

4. Alguien afirma que dos eventos incompatibles tienen P(A) = 0,6 y P(B) = 0,7. ¿Es posible? No. Al ser incompatibles, P(A ∪ B) = 0,6 + 0,7 = 1,3, y ninguna probabilidad puede pasar de 1. Contradice el primer axioma. La asignación es inválida.

5. En una sección de 40 estudiantes, 18 juegan fútbol, 15 bailan y 7 hacen las dos cosas. ¿Cuál es la probabilidad de que uno elegido al azar no haga ninguna de las dos? Primero la unión: 18 + 15 − 7 = 26 hacen al menos una. Su probabilidad es 26 ÷ 40 = 0,65. Por complemento, P(ninguna) = 1 − 0,65 = 0,35, o sea 14 estudiantes de 40. Comprobación directa: 40 − 26 = 14. Coincide.

Los errores que más se cobran

1. Sumar sin restar la intersección. Es el error más caro del tema. Los elementos que están en A y en B se cuentan dos veces, y la probabilidad sale inflada. Solo se puede sumar directo si los eventos no pueden ocurrir juntos.
2. Confundir «incompatibles» con «independientes». Incompatibles significa que no pueden pasar juntos; independientes significa que uno no afecta al otro. Son ideas distintas: dos eventos incompatibles con probabilidad positiva nunca son independientes, porque si ocurre uno el otro queda descartado.
3. Calcular «al menos uno» sumando casos y contando de más. Al sumar «seis en el primero» y «seis en el segundo» se cuenta dos veces el caso de dos seises. El complemento evita ese enredo por completo.
4. Dar probabilidades mayores que 1 o negativas. Suele pasar al sumar mal o al usar cantidad de casos en vez de proporción. Cualquier resultado fuera de [0, 1] es señal de error, no de un caso raro.
5. Restar el complemento de la cantidad de casos en vez de restarlo de 1. La fórmula es 1 − P(A), con probabilidades, no con conteos. Si preferís trabajar con conteos, hay que restar del total de casos y después dividir.
6. Olvidar que el espacio muestral tiene que estar completo. Si al armar S se deja fuera un resultado posible, todas las probabilidades quedan mal, porque el denominador está equivocado desde el inicio.

Clave de análisis

Si se te borran las fórmulas, volvé a los tres axiomas: la probabilidad vive entre 0 y 1, el espacio entero vale 1, y lo que no puede pasar junto se suma sin más. Del segundo y el tercero sale el complemento en dos líneas, porque un evento y su contrario no se solapan y entre los dos llenan todo.

La regla de la suma se reconstruye con un dibujo de dos conjuntos que se traslapan: si sumás las dos áreas, la zona común quedó contada dos veces, y hay que devolverla una vez. Esa imagen te da también el caso incompatible, donde no hay zona común y por eso no hay nada que restar.

Y guardá el aviso práctico: «al menos uno» pide complemento. Es la señal más confiable del tema, y funciona porque el contrario de «al menos uno» es siempre un escenario único y sencillo: ninguno.