Funciones algebraicas y trascendentes: tabla, gráfico y criterio

Al terminar vas a poder separar las funciones algebraicas de las trascendentes por el tipo de operación que usan, pasar de una tabla a un criterio y de un criterio a la forma de la gráfica, y reconocer una exponencial o una logarítmica mirando sus valores.

Qué separa a las dos familias

La palabra «trascendente» no es un adorno: significa que la función trasciende, es decir, va más allá de las operaciones del álgebra.

Una función es algebraica cuando su criterio se arma solo con sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias de exponente entero y raíces. Una función es trascendente cuando necesita una operación que no está en esa lista: elevar un número fijo a una variable, sacar un logaritmo, o usar razones trigonométricas.

El detalle que decide es dónde está la variable. Si x está en la base y el exponente es fijo, como en x², la función es algebraica. Si x está en el exponente, como en 2ˣ, es trascendente.

Las tres representaciones dicen lo mismo

Una función se puede mostrar de tres maneras, y las tres contienen la misma información:

• La tabla da pares de valores. Es concreta, pero incompleta: solo muestra los puntos que alguien eligió.
• El gráfico muestra la forma completa y el comportamiento: dónde sube, dónde baja, si tiene máximo.
• El criterio es la regla exacta. Permite calcular cualquier punto, incluso los que la tabla no trae.

Saber el tema es poder ir de una a otra en los dos sentidos. De criterio a tabla es fácil: se sustituye. De tabla a criterio hay que descubrir el patrón. Y de criterio a gráfico, hay que leer qué le pasa a la función.

Cómo se reconoce cada tipo por su tabla y su forma

Lineal (algebraica). Criterio f(x) = m·x + b. En la tabla, la diferencia entre valores seguidos es constante. El gráfico es una recta, y b es donde corta el eje vertical.

Cuadrática (algebraica). Criterio f(x) = a·x² + b·x + c. El gráfico es una parábola, con un punto de retorno: mínimo si a es positivo, máximo si a es negativo. En la tabla, los valores bajan y luego suben, o al revés.

Racional (algebraica). Criterio con la variable en un denominador, como f(x) = 1 ÷ x. Tiene valores de x prohibidos —los que anulan el denominador— y cerca de ellos la gráfica se dispara.

Radical (algebraica). Criterio con raíz par, como f(x) = √x. Solo existe donde lo de adentro no es negativo, así que la gráfica arranca en un punto y no tiene nada a la izquierda.

Exponencial (trascendente). Criterio f(x) = bˣ con b positivo y distinto de 1. En la tabla, cada valor se obtiene multiplicando el anterior por b. Siempre pasa por (0, 1), porque cualquier base elevada a 0 da 1. Nunca toma valores negativos ni llega a cero.

Logarítmica (trascendente). Es la inversa de la exponencial: logb(y) = x significa exactamente que bˣ = y. Siempre pasa por (1, 0), porque b⁰ = 1. Solo acepta entradas positivas, justo porque la exponencial solo produce salidas positivas.

Ejemplos resueltos

1. Clasificá f(x) = x³ − 2x y g(x) = 3ˣ. En f, la variable está en la base y los exponentes son números enteros fijos: es algebraica, del tipo polinomial. En g, la variable está en el exponente y la base es fija: es trascendente, exponencial. Se parecen al escribirlas, pero el papel de x es opuesto.

2. Completá la tabla de f(x) = 2ˣ para x = −1, 0, 1, 2, 3 y decí qué patrón aparece. f(−1) = 1 ÷ 2 = 0,5; f(0) = 1; f(1) = 2; f(2) = 4; f(3) = 8. El patrón no es una suma: cada valor es el doble del anterior. Esa razón constante es la marca de la exponencial. Y notá que ningún valor es negativo ni cero, por más que x baje.

3. Una tabla muestra x = 0, 1, 2, 3 con y = 5, 8, 11, 14. Encontrá el criterio. Las diferencias son 3, 3 y 3: constantes, entonces es lineal, con m = 3. Como en x = 0 el valor es 5, ese es b. El criterio es f(x) = 3x + 5. Comprobamos con x = 3: 3·3 + 5 = 14. Coincide.

4. Calculá log₂ 8 y log₂ 1, y explicá de dónde salen. log₂ 8 pregunta a qué exponente hay que elevar 2 para obtener 8. Como 2³ = 8, la respuesta es 3. log₂ 1 pregunta lo mismo para el 1, y como 2⁰ = 1, la respuesta es 0. El logaritmo no es una operación aparte: es la pregunta al revés de la potencia.

5. ¿Cuál es el dominio de f(x) = √(x + 4) y cuál es el de g(x) = log(x − 2)? Para f, la raíz par exige x + 4 ≥ 0, o sea x ≥ −4: dominio [−4, +∞[. Para g, el logaritmo exige argumento positivo: x − 2 > 0, o sea x > 2: dominio ]2, +∞[. La diferencia entre el «mayor o igual» y el «mayor» no es capricho: √0 existe y vale 0, pero el logaritmo de 0 no existe.

Los errores que más se cobran

1. Confundir x² con 2ˣ. No son la misma función ni se parecen al crecer: en x = 10 la primera da 100 y la segunda da 1 024. Lo que decide es si la variable está en la base o en el exponente.
2. Creer que una exponencial puede dar cero o negativos. Una potencia de base positiva nunca lo hace; por eso su gráfica se acerca al eje horizontal sin tocarlo. Ese hecho es, además, la razón de que el logaritmo solo acepte entradas positivas.
3. Sacar el criterio de dos puntos sin revisar el resto de la tabla. Dos puntos calzan con muchas funciones. Hay que verificar el patrón en todos los pares antes de afirmar el criterio.
4. Tratar el logaritmo como una multiplicación o una raíz. log₂ 8 no es 8 ÷ 2 ni √8. Es el exponente que le falta al 2 para llegar a 8, y esa lectura resuelve casi todos los cálculos del nivel.
5. Olvidar las restricciones de dominio al graficar. Dibujar √x a la izquierda del cero, o una racional pasando por el valor que anula el denominador, produce gráficas imposibles.
6. Clasificar por la apariencia del gráfico. Una exponencial y una cuadrática creciente se ven parecidas en un tramo corto. La clasificación se hace por el criterio, no por el dibujo.

Clave de análisis

Para clasificar, mirá dónde está la variable. En la base con exponente fijo, o bajo una raíz, o en un denominador: es algebraica. En el exponente, dentro de un logaritmo o dentro de una razón trigonométrica: es trascendente. Con esa sola pregunta se ordena toda la tabla de familias sin tener que recordarla.

Para ir de la tabla al criterio, usá el orden de pruebas: restá valores seguidos y, si sale constante, es lineal; si no, restá otra vez, y si ahora sale constante, es cuadrática; si tampoco, dividí valores seguidos, y si ahí aparece la constante, es exponencial. Cada prueba corresponde a cómo está construida la función, no a una receta suelta.

Y guardá la relación que sostiene la mitad del tema: la exponencial y la logarítmica son la misma función leída al revés. De ahí sale que una pase por (0, 1) y la otra por (1, 0), que una acepte cualquier entrada y devuelva solo positivos, y que la otra acepte solo positivos y devuelva cualquier cosa.