Ecuación de la circunferencia y su gráfica
Al terminar vas a poder escribir la ecuación de una circunferencia a partir de su centro y su radio, pasar de la forma general a la canónica completando cuadrados, y decidir si una ecuación de segundo grado representa una circunferencia, un punto o nada.
La ecuación sale de la definición, no al revés
Una circunferencia es el conjunto de puntos que están a una distancia fija r de un centro (h, k). Traduzcamos esa frase con la fórmula de distancia entre dos puntos: la distancia de un punto cualquiera (x, y) al centro es √((x − h)² + (y − k)²), y esa distancia tiene que ser igual a r.
Elevando al cuadrado los dos lados para sacarnos la raíz de encima queda la forma canónica o ordinaria:
(x − h)² + (y − k)² = r²
No hay que aceptarla como un dato: es la definición escrita en símbolos. Por eso el número de la derecha es r al cuadrado y no el radio: viene de haber elevado al cuadrado una distancia.
La ecuación dice «la distancia al centro es siempre la misma». Cada vez que dudés de un signo, volvé a leerla así.
Los signos, que es donde se pierde la gente
En el molde aparecen restas. Si el centro tiene coordenadas negativas, las restas se convierten en sumas:
| Ecuación | Centro | Radio |
|---|---|---|
| (x − 3)² + (y − 2)² = 25 | (3, 2) | 5 |
| (x + 1)² + (y − 4)² = 9 | (−1, 4) | 3 |
| x² + (y + 6)² = 49 | (0, −6) | 7 |
Fijate en la segunda fila: (x + 1)² es lo mismo que (x − (−1))², por eso h vale −1. Y en la tercera, x² solo es (x − 0)², así que la primera coordenada del centro es 0.
La forma general y cómo se vuelve de ella
Si desarrollás los cuadrados y pasás todo a un lado, la ecuación queda así:
x² + y² + D·x + E·y + F = 0
Es la forma general. Se reconoce porque los coeficientes de x² y de y² son iguales —y no hay término con x·y—. Si el coeficiente de x² fuera distinto del de y², la figura no sería una circunferencia.
Para volver a la forma canónica se completa cuadrados: se agrupan los términos con x, los términos con y, y a cada grupo se le suma el número que lo convierte en un cuadrado perfecto. Ese número es la mitad del coeficiente lineal, elevada al cuadrado. Y lo que sumás de un lado hay que sumarlo también del otro.
Cuando la ecuación no dibuja una circunferencia
Después de completar cuadrados, el número de la derecha es r². Y ahí hay tres casos, porque un número real solo puede ser positivo, cero o negativo:
- Positivo: hay circunferencia, de radio √(ese número).
- Cero: el único punto que cumple es el centro. Se llama circunferencia degenerada o punto.
- Negativo: ningún punto real la cumple, porque una suma de cuadrados no puede dar negativo. No hay gráfica.
Esos tres casos no se anotan aparte: salen de mirar qué valores puede tomar una suma de dos cuadrados.
Ejemplos resueltos
1. Escribí la ecuación de la circunferencia de centro (−1, 4) y radio 3, en forma canónica y en forma general. Canónica: (x + 1)² + (y − 4)² = 9. Para la general, desarrollamos: x² + 2x + 1 + y² − 8y + 16 = 9, es decir x² + y² + 2x − 8y + 17 − 9 = 0, o sea x² + y² + 2x − 8y + 8 = 0.
2. Encontrá el centro y el radio de x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0. Agrupamos: (x² − 6x) + (y² + 4y) = 12. La mitad de −6 es −3 y su cuadrado es 9; la mitad de 4 es 2 y su cuadrado es 4. Sumamos 9 y 4 a los dos lados: (x² − 6x + 9) + (y² + 4y + 4) = 12 + 9 + 4, o sea (x − 3)² + (y + 2)² = 25. Centro (3, −2), radio 5. Comprobación con el punto (8, −2): (8 − 3)² + 0 = 25. Está en la circunferencia.
3. Hallá la ecuación de la circunferencia con centro (2, 3) que pasa por el punto (5, 7). El radio es la distancia del centro al punto: r = √((5 − 2)² + (7 − 3)²) = √(9 + 16) = √25 = 5. Entonces la ecuación es (x − 2)² + (y − 3)² = 25.
4. ¿Qué representa x² + y² − 2x + 4y + 10 = 0? Completamos cuadrados: (x² − 2x + 1) + (y² + 4y + 4) = −10 + 1 + 4, o sea (x − 1)² + (y + 2)² = −5. Una suma de cuadrados no puede ser negativa, así que ningún punto real cumple la ecuación: no hay gráfica.
5. Los puntos A(−2, 1) y B(4, 9) son extremos de un diámetro. Escribí la ecuación. El centro es el punto medio: ((−2 + 4)÷2, (1 + 9)÷2) = (1, 5). El radio es la distancia del centro a A: √((1 − (−2))² + (5 − 1)²) = √(9 + 16) = 5. La ecuación es (x − 1)² + (y − 5)² = 25. Comprobación con B: (4 − 1)² + (9 − 5)² = 9 + 16 = 25. Correcto.
Los errores que más se cobran
- Dar como radio el número de la derecha. En (x − 1)² + (y + 2)² = 36 el radio es 6, no 36. La confusión viene de olvidar que la ecuación se armó elevando al cuadrado una distancia.
- Equivocar el signo del centro. El molde tiene restas, así que un signo más dentro del paréntesis significa coordenada negativa. Conviene reescribir (x + 5)² como (x − (−5))² antes de leer.
- Sumar solo de un lado al completar cuadrados. Si agregás 9 a la izquierda y no a la derecha, cambiás la ecuación y el radio sale mal. Toda ecuación aguanta que le sumes algo, pero a los dos lados.
- Tomar la mitad del coeficiente al cuadrado y olvidarse de elevarla. El término que completa es (mitad)², no la mitad. Con −6, lo que se suma es 9, no 3.
- Creer que toda ecuación de segundo grado con x² y y² es una circunferencia. Hace falta que los dos coeficientes sean iguales, que no haya término x·y y que el resultado del lado derecho quede positivo.
- No comprobar el resultado con un punto. Ya que encontraste centro y radio, sustituir un punto obvio de la circunferencia cuesta dos líneas y detecta cualquier error de signo.
Clave de análisis
Todo el tema se sostiene en una sola frase: la ecuación es la definición de circunferencia escrita con la fórmula de distancia. De ahí sacás sin ayuda que a la derecha va r² y que los paréntesis llevan restas. Si alguna vez no te acordás del molde, escribí «distancia de (x, y) a (h, k) igual a r», elevá al cuadrado y ya lo tenés.
La segunda idea es el camino de ida y vuelta entre las dos formas. De canónica a general se desarrollan los cuadrados; de general a canónica se completan. Son la misma ecuación vestida distinto: la canónica muestra el centro y el radio, la general muestra los coeficientes. Elegí la que te conviene según lo que te pidan.
Y la tercera, que evita respuestas imposibles: después de completar cuadrados, mirá el signo del número de la derecha. Positivo da circunferencia, cero da un punto, negativo no da nada. Esa revisión de un segundo ordena los tres casos sin necesidad de acordarse de ellos por separado.