Problemas con funciones y sistemas de ecuaciones

Al terminar vas a poder traducir un problema en palabras a un sistema de ecuaciones, elegir entre sustitución e igualación según cómo vengan escritas, y decidir si un sistema tiene una solución, ninguna o infinitas.

Un sistema es una pregunta sobre un cruce

Cuando un problema tiene dos incógnitas, una sola ecuación no alcanza: hay infinitas parejas que la cumplen. Hacen falta dos condiciones distintas sobre las mismas dos incógnitas. Eso es un sistema.

Y la solución tiene un significado gráfico preciso: cada ecuación lineal es una recta, y la solución del sistema es el punto donde las dos rectas se cruzan. De esa imagen sale, sin listas, la clasificación completa.

Dos rectas en un plano solo pueden hacer tres cosas: cruzarse, no cruzarse nunca o ser la misma. Por eso no hay un cuarto caso.

Los tres caminos para resolver

Sustitución. Se despeja una incógnita en una ecuación y se mete en la otra. Conviene cuando alguna incógnita ya está sola o tiene coeficiente 1, porque despejarla no genera fracciones.

Igualación. Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan los dos resultados. Conviene cuando las dos ecuaciones ya vienen con y despejado, como pasa con las funciones f(x) y g(x).

Reducción o eliminación. Se multiplica alguna ecuación por un número para que los coeficientes de una incógnita queden opuestos, y se suman las ecuaciones: esa incógnita desaparece. Conviene cuando ninguna incógnita está despejada.

Los tres dan el mismo resultado, porque los tres hacen lo mismo: eliminar una incógnita para quedarse con una ecuación de una sola variable. Elegir bien solo ahorra trabajo.

Cómo se traduce un problema

Este es el paso que más puntos vale y el que menos se practica. Un orden que funciona:

1. Nombrá las incógnitas con una frase completa. No «x», sino «x = cantidad de entradas de adulto».
2. Buscá las dos condiciones. Casi siempre una cuenta cantidades y otra cuenta dinero, peso o tiempo.
3. Escribí cada condición como ecuación, cuidando que las unidades calcen.
4. Resolvé y devolvé el resultado al enunciado, comprobando que tenga sentido: no puede haber −3 entradas.

Cuando el problema no es lineal

No todo sistema es de rectas. Si el problema mezcla una suma con un producto —perímetro y área, por ejemplo—, al sustituir aparece una ecuación cuadrática, y hay que resolverla con factorización o con la fórmula general. El método de trabajo es el mismo: despejar una incógnita y sustituir.

Ejemplos resueltos

1. Se vendieron 30 entradas para una actividad del colegio. Las de adulto valen 2 500 colones y las de estudiante 1 500. Se recaudaron 61 000 colones. ¿Cuántas de cada una? Sea x = entradas de adulto, y = entradas de estudiante. Cantidades: x + y = 30. Dinero: 2 500x + 1 500y = 61 000, que dividida entre 500 queda 5x + 3y = 122. Despejamos x = 30 − y y sustituimos: 5(30 − y) + 3y = 122, o sea 150 − 5y + 3y = 122, entonces −2y = −28 y y = 14. Luego x = 16. Comprobación: 16·2 500 = 40 000 y 14·1 500 = 21 000, y 40 000 + 21 000 = 61 000. Correcto.

2. Resolvé por reducción: 3x + 2y = 16 y 5x − 2y = 8. Los coeficientes de y ya son opuestos, así que sumamos las dos ecuaciones directamente: 8x = 24, entonces x = 3. Sustituyendo en la primera: 9 + 2y = 16, o sea 2y = 7 y y = 3,5. Comprobación en la segunda: 15 − 7 = 8. Correcto.

3. Un taller tiene costos de 1 500 colones por unidad más 90 000 fijos, y vende cada unidad a 3 000. ¿Cuántas unidades necesita vender para no perder ni ganar? Costo: C(x) = 1 500x + 90 000. Ingreso: I(x) = 3 000x. El punto de equilibrio es donde se igualan: 3 000x = 1 500x + 90 000, entonces 1 500x = 90 000 y x = 60 unidades. Comprobación: costo 1 500·60 + 90 000 = 180 000; ingreso 3 000·60 = 180 000. Iguales.

4. Un terreno rectangular tiene 40 m de perímetro y 96 m² de área. ¿Cuánto miden sus lados? Si los lados son x y y, el perímetro da 2x + 2y = 40, o sea x + y = 20, de donde y = 20 − x. El área da x·y = 96, entonces x(20 − x) = 96, es decir 20x − x² = 96, o x² − 20x + 96 = 0. El discriminante es 400 − 384 = 16, y las raíces son (20 + 4)÷2 = 12 y (20 − 4)÷2 = 8. Los lados miden 12 m y 8 m. Comprobación: perímetro 2(12 + 8) = 40 y área 12·8 = 96. Correcto.

5. ¿Qué solución tiene el sistema 2x + 4y = 10 y x + 2y = 7? Multiplicamos la segunda por 2: 2x + 4y = 14. Comparando con la primera, el mismo lado izquierdo tendría que valer 10 y 14 a la vez, lo cual es imposible. El sistema no tiene solución: las rectas son paralelas. Se nota también en que los coeficientes son proporcionales pero los términos independientes no.

Los errores que más se cobran

1. Contestar una sola incógnita. Si el problema pregunta cuántas entradas de cada tipo, dar solo x deja la respuesta a medias. El sistema tiene dos incógnitas y la respuesta también.
2. Mezclar unidades en una misma ecuación. Sumar cantidad de entradas con colones da una igualdad sin sentido. Cada ecuación tiene que hablar de una sola clase de cosa.
3. Sustituir en la ecuación ya usada. Si despejaste de la primera, hay que sustituir en la segunda. Volver a la misma ecuación siempre da 0 = 0 y parece, falsamente, que hay infinitas soluciones.
4. Confundir «sin solución» con «solución cero». Que x sea 0 es una solución perfectamente válida. Sin solución es otra cosa: ninguna pareja cumple las dos condiciones.
5. No comprobar en las dos ecuaciones. Una solución equivocada suele cumplir una y fallar la otra. La comprobación completa cuesta dos líneas y detecta casi todos los errores de signo.
6. Descartar una raíz sin razón, o quedarse con una imposible. En problemas con cuadráticas pueden salir dos valores válidos, como los 12 y 8 del terreno. Pero si sale una longitud negativa, esa sí se descarta, y hay que decir por qué.

Clave de análisis

Si te trabás en la traducción, volvé a la regla de las dos condiciones: una cuenta cosas y la otra cuenta lo que esas cosas valen, pesan o duran. En casi todos los problemas de este nivel, esas son las dos ecuaciones, y nombrarlas con una frase completa antes de escribir símbolos evita la mitad de los errores.

Para elegir el método, mirá cómo vienen escritas las ecuaciones. Si hay una incógnita despejada o con coeficiente 1, sustituí. Si las dos vienen despejadas en la misma incógnita, igualá. Si ninguna está despejada, reducí. No son tres técnicas distintas: las tres persiguen quedarse con una sola incógnita, y elegir bien solo evita fracciones feas.

Y para clasificar el resultado sin dudar, acordate del cruce de rectas. Si llegás a un valor concreto, se cortaron. Si llegás a algo falso como 0 = 4, son paralelas y no hay solución. Si llegás a algo siempre cierto como 0 = 0, era la misma recta escrita de dos formas y hay infinitas soluciones.