Distancia entre dos puntos del plano

Al terminar vas a poder calcular la distancia entre dos puntos del plano, deducir la fórmula en vez de repetirla, y usarla para decidir si un triángulo es isósceles o si tres puntos están alineados.

La fórmula no se recibe: se construye

Te dan dos puntos, A(2, 3) y B(6, 6), y te piden qué tan lejos están. Dibujalos mentalmente en el plano cartesiano y uní el segmento AB. Ese segmento está inclinado, y ahí está el problema: sobre el eje horizontal o el vertical medir es fácil, pero en diagonal no hay regla directa.

La salida es convertir la diagonal en la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Desde A trazá una línea horizontal y desde B una vertical: se cruzan en el punto C(6, 3). Ahora tenés un triángulo rectángulo con el ángulo recto en C.

¿Cuánto miden los catetos? El horizontal va de x = 2 a x = 6, así que mide 6 − 2 = 4. El vertical va de y = 3 a y = 6, así que mide 6 − 3 = 3. Los catetos son las diferencias de coordenadas.

Y ahora entra Pitágoras: AB² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25, entonces AB = √25 = 5.

La fórmula de distancia es el teorema de Pitágoras aplicado a las diferencias de coordenadas. No hay nada más adentro.

Escrito en general, para A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂):

d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Por qué el signo de la resta no importa

Una duda razonable: ¿y si resto al revés? Si hago 2 − 6 me da −4, y una distancia no puede ser negativa.

Fijate en lo que pasa después: ese −4 se eleva al cuadrado y (−4)² = 16, exactamente igual que 4² = 16. El cuadrado borra el signo, y por eso da lo mismo el orden de la resta. Esto no es un truco: es la razón por la cual la fórmula funciona sin tener que preocuparse de cuál punto es «el primero».

De aquí sale también algo que conviene ver: d(A, B) = d(B, A), siempre. La distancia de tu casa al colegio es la misma que la del colegio a tu casa.

Dos casos donde la fórmula se simplifica sola

Si los dos puntos tienen la misma y, el segmento es horizontal. Entonces y₂ − y₁ = 0 y la fórmula queda d = √((x₂ − x₁)²), que es el valor absoluto de la diferencia de las x. Igual si comparten la misma x: la distancia es la diferencia de las y.

Esto no es una fórmula aparte que haya que guardar: es la misma fórmula con un cateto igual a cero, o sea un triángulo aplastado en el que la hipotenusa coincide con el único cateto que quedó.

Cuándo la raíz se deja indicada

Casi siempre la suma de cuadrados no es un cuadrado perfecto y la raíz queda irracional. Ejemplo: d = √13. Se deja así, porque √13 es el valor exacto y 3,6056 es apenas una aproximación. Si el problema pide un valor con decimales, se aproxima al final, nunca a media cuenta: redondear antes arrastra el error a todos los pasos siguientes.

Y cuando lo único que se necesita es comparar dos distancias, ni siquiera hay que sacar la raíz. Si una da √50 y otra √41, gana la de √50, porque la raíz cuadrada conserva el orden: si un número es mayor que otro, su raíz también lo es.

Ejemplos resueltos

1. Calculá la distancia entre P(−3, 2) y Q(1, −4). Diferencias: 1 − (−3) = 4 y −4 − 2 = −6. Cuidado con el doble signo: restar un negativo suma. d = √(4² + (−6)²) = √(16 + 36) = √52. √52 = √(4 · 13) = 2√13, que es aproximadamente 7,21. Se simplifica sacando el factor cuadrado perfecto.

2. ¿El triángulo con vértices A(0, 0), B(4, 0) y C(2, 5) es isósceles? Hay que comparar los tres lados. AB: puntos con la misma y, así que AB = 4 − 0 = 4. AC = √((2 − 0)² + (5 − 0)²) = √(4 + 25) = √29. BC = √((2 − 4)² + (5 − 0)²) = √(4 + 25) = √29. AC = BC = √29, así que sí es isósceles. Fijate que no hizo falta calcular el valor decimal: bastó con ver que las dos expresiones son idénticas.

3. ¿Los puntos A(1, 2), B(3, 6) y C(6, 12) están alineados? Si estuvieran en línea recta, la distancia más larga sería igual a la suma de las otras dos. AB = √(2² + 4²) = √20 ≈ 4,47. BC = √(3² + 6²) = √45 ≈ 6,71. AC = √(5² + 10²) = √125 ≈ 11,18. Sumá: 4,47 + 6,71 = 11,18, que es AC. Están alineados. Si la suma hubiera dado más que AC, formarían triángulo.

4. Un punto M está sobre el eje x y equidista de A(0, 4) y B(6, 2). Encontralo. Como está en el eje x, sus coordenadas son (x, 0). Igualamos las distancias, y para evitar raíces igualamos los cuadrados, que es válido porque ambas distancias son positivas: (x − 0)² + (0 − 4)² = (x − 6)² + (0 − 2)² x² + 16 = x² − 12x + 36 + 4 16 = −12x + 40 12x = 24, entonces x = 2. El punto es M(2, 0). Comprobación: MA = √(4 + 16) = √20 y MB = √(16 + 4) = √20. Coinciden.

5. Dos antenas están en A(3, 1) y B(3, 9), en kilómetros. ¿Qué tan separadas están? Comparten la coordenada x, así que el segmento es vertical y el cateto horizontal vale cero: d = 9 − 1 = 8 km. Aplicar la fórmula completa daría √(0 + 64) = 8, lo mismo, pero con pasos de más.

Los errores que más se cobran

1. Restar coordenadas cruzadas. Hacer (x₂ − y₁) mezcla ejes distintos y el resultado no mide nada. Las x se restan con x, las y con y, porque cada resta representa un cateto de un lado del triángulo.
2. Olvidar el paréntesis al restar un negativo. En 1 − (−3) el resultado es 4, no −2. Este es el error que más resultados arruina, y no se arregla con la fórmula: se arregla escribiendo el paréntesis.
3. Sacar la raíz de cada sumando por aparte. √(9 + 16) es 5, no 3 + 4. La raíz de una suma no se reparte; primero se suma adentro y después se extrae.
4. Redondear a mitad de camino. Aproximar √29 a 5,4 y seguir operando mete un error que crece con cada paso. La aproximación va al final.
5. Preocuparse por el orden de los puntos. Como las diferencias se elevan al cuadrado, el signo desaparece. Perder tiempo decidiendo cuál es «el primero» no cambia nada.
6. Dar una distancia negativa y darla por buena. Una distancia es una longitud: si te sale negativa, el error está en un signo mal puesto o en haber olvidado un cuadrado.

Clave de análisis

Si se te borra la fórmula, dibujá los dos puntos y uní el segmento. Después trazá la horizontal desde uno y la vertical desde el otro: aparece un triángulo rectángulo cuyos catetos son, necesariamente, la diferencia de las x y la diferencia de las y. La distancia que buscás es la hipotenusa, así que el teorema de Pitágoras la entrega: suma de los cuadrados de los catetos y raíz al final. La fórmula se reescribe sola en cuanto tenés el dibujo.

De esa misma construcción salen los detalles. El signo de las restas no importa porque los catetos entran al cuadrado. Los casos horizontal y vertical no son fórmulas aparte, sino el triángulo con un cateto nulo. Y la raíz se puede dejar indicada porque el valor exacto es √(suma), mientras que el decimal es solo una lectura aproximada de ese mismo número.