Dividir polinomios paso a paso

Al terminar vas a poder dividir un polinomio entre otro con el algoritmo largo, explicar por qué hay que completar con ceros los términos que faltan, y comprobar cualquier división con la relación entre dividendo, divisor, cociente y residuo.

La división de polinomios es la división de siempre

Cuando dividís 437 entre 12, no lo hacés de un golpe: vas tomando de a poco, viendo cuántas veces cabe el 12, restando y bajando la siguiente cifra. Terminás con cociente 36 y residuo 5.

Con polinomios el procedimiento es idéntico. Lo único que cambia es que en vez de unidades, decenas y centenas, las posiciones son las potencias de x: x², x, término independiente. Y en vez de comparar tamaños, se compara el grado.

La relación que gobierna todo es la misma en los dos casos:

dividendo = divisor · cociente + residuo

Con 437 y 12: 12 · 36 + 5 = 432 + 5 = 437. Esa igualdad es la que se usa para comprobar cualquier división de polinomios, y por eso conviene tenerla presente desde el inicio y no como paso final opcional.

El residuo tiene que ser de grado menor que el divisor. Si no lo es, la división no terminó: todavía se puede seguir dividiendo.

Antes de empezar: ordenar y completar

Dos preparativos que no son formalidades.

Ordenar el polinomio de mayor a menor grado. El algoritmo siempre mira el término de mayor grado que queda, así que si los términos están desordenados, se toma el que no es.

Completar con ceros los grados que faltan. Si el dividendo es x³ − 7x + 6, el término de x² no está. Se escribe x³ + 0x² − 7x + 6.

¿Por qué es obligatorio? Porque en la división larga cada columna corresponde a un grado, igual que en la división numérica cada columna corresponde a una posición. Si falta una columna, las restas se hacen entre términos de grados distintos y el resultado se corre entero. Es el mismo motivo por el que en 4 037 no se puede borrar el cero.

El algoritmo, paso a paso

Dividamos 6x³ − 5x² + 0x + 4 entre 2x − 3. Fijate que ya completé con 0x.

Paso 1. Dividí el término de mayor grado del dividendo entre el de mayor grado del divisor: 6x³ ÷ 2x = 3x². Ese es el primer término del cociente.

Paso 2. Multiplicá ese término por todo el divisor: 3x² · (2x − 3) = 6x³ − 9x².

Paso 3. Restá ese producto del dividendo. Acá está el error más frecuente: hay que restar todo el producto, o sea cambiar el signo de cada término. (6x³ − 5x²) − (6x³ − 9x²) = 6x³ − 5x² − 6x³ + 9x² = 4x². Bajamos el siguiente término: queda 4x² + 0x.

Paso 4. Repetimos. 4x² ÷ 2x = 2x. Multiplicamos: 2x · (2x − 3) = 4x² − 6x. Restamos: (4x² + 0x) − (4x² − 6x) = 6x. Bajamos el 4: queda 6x + 4.

Paso 5. Otra vez. 6x ÷ 2x = 3. Multiplicamos: 3 · (2x − 3) = 6x − 9. Restamos: (6x + 4) − (6x − 9) = 13.

El 13 es de grado 0 y el divisor es de grado 1, así que el residuo es menor en grado y se detiene ahí.

Resultado: cociente 3x² + 2x + 3, residuo 13.

Comprobación: (2x − 3)(3x² + 2x + 3) + 13 = 6x³ + 4x² + 6x − 9x² − 6x − 9 + 13 = 6x³ − 5x² + 0x + 4. Coincide con el dividendo.

Cuándo el divisor es de la forma x − a

Hay un caso especial que aparece mucho: dividir entre un binomio como x − 2 o x + 5. Ahí el algoritmo funciona igual, pero conviene notar una consecuencia útil.

Si el residuo da cero, significa que dividendo = divisor · cociente, o sea que el divisor es un factor del dividendo. Esa es la conexión entre división y factorización: dividir es la forma de verificar si un binomio es factor de un polinomio.

Ejemplos resueltos

1. Dividí x² + 7x + 12 entre x + 3. x² ÷ x = x. Multiplicamos: x(x + 3) = x² + 3x. Restamos: (x² + 7x) − (x² + 3x) = 4x. Bajamos el 12: 4x + 12. 4x ÷ x = 4. Multiplicamos: 4(x + 3) = 4x + 12. Restamos: 0. Cociente x + 4, residuo 0. Como el residuo es cero, x + 3 es factor: x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).

2. Dividí x³ − 8 entre x − 2. Completamos: x³ + 0x² + 0x − 8. x³ ÷ x = x². Multiplicamos: x³ − 2x². Restamos: 2x². Bajamos: 2x² + 0x. 2x² ÷ x = 2x. Multiplicamos: 2x² − 4x. Restamos: 4x. Bajamos: 4x − 8. 4x ÷ x = 4. Multiplicamos: 4x − 8. Restamos: 0. Cociente x² + 2x + 4, residuo 0. Sin completar con ceros, este ejercicio se descuadra en el primer paso.

3. Dividí 2x³ + 3x² − 4 entre x + 2. Completamos: 2x³ + 3x² + 0x − 4. 2x³ ÷ x = 2x². Producto: 2x³ + 4x². Resta: 3x² − 4x² = −x². Bajamos: −x² + 0x. −x² ÷ x = −x. Producto: −x² − 2x. Resta: 0x − (−2x) = 2x. Bajamos: 2x − 4. 2x ÷ x = 2. Producto: 2x + 4. Resta: −4 − 4 = −8. Cociente 2x² − x + 2, residuo −8. Comprobación: (x + 2)(2x² − x + 2) − 8 = 2x³ − x² + 2x + 4x² − 2x + 4 − 8 = 2x³ + 3x² − 4. Correcto.

4. ¿Es x − 1 factor de x³ − 2x² + 5x − 4? Dividimos. x³ ÷ x = x². Producto: x³ − x². Resta: −x². Bajamos: −x² + 5x. −x² ÷ x = −x. Producto: −x² + x. Resta: 5x − x = 4x. Bajamos: 4x − 4. 4x ÷ x = 4. Producto: 4x − 4. Resta: 0. El residuo es 0, así que sí es factor, y el cociente es x² − x + 4.

5. Un estudiante divide 6x³ entre 2x y escribe 3x². Otro escribe 3x³. ¿Quién tiene razón? El primero. Al dividir potencias de la misma base los exponentes se restan: x³ ÷ x = x². Los coeficientes sí se dividen normalmente: 6 ÷ 2 = 3. El segundo confundió la división de potencias con la de coeficientes.

Los errores que más se cobran

1. No completar con ceros los grados faltantes. Las restas terminan mezclando términos de grados distintos y todo el resultado se corre. Es el mismo desastre que borrar un cero en una división numérica.
2. Restar solo el primer término del producto. La resta afecta al producto completo, así que hay que cambiar el signo de cada término. Escribir el producto entre paréntesis con el signo menos adelante ayuda a no olvidarlo.
3. Sumar los exponentes al dividir. Al dividir potencias de la misma base los exponentes se restan; se suman al multiplicar. Confundirlo sube el grado del cociente y todo se desarma.
4. Detener la división demasiado pronto o demasiado tarde. Se para cuando el grado del residuo es menor que el del divisor. Si el residuo todavía tiene grado igual o mayor, faltan pasos.
5. Trabajar con el dividendo desordenado. El algoritmo toma en cada vuelta el término de mayor grado, así que si el polinomio no está ordenado, toma el equivocado.
6. No comprobar. La igualdad divisor · cociente + residuo = dividendo se verifica en un minuto y detecta cualquier error de signo. Saltársela es regalar puntos.

Clave de análisis

Si se te olvida el procedimiento, reconstruilo desde la división de números, que es la misma. En cada vuelta se pregunta cuántas veces cabe el término mayor del divisor en el término mayor de lo que queda; ese cociente parcial se multiplica por todo el divisor y se resta, para descontar lo que ya se repartió. Se repite hasta que lo que sobra es demasiado pequeño para seguir, y en polinomios «demasiado pequeño» significa de grado menor que el divisor.

De esa misma imagen salen los dos cuidados que más se cobran. Se completa con ceros porque cada columna representa un grado y una columna ausente corre todas las demás, igual que en 4 037. Y se resta el producto completo porque lo que se descuenta es todo lo repartido, no una parte. Al final siempre queda el mismo control, que no depende de recordar nada: multiplicá divisor por cociente, sumá el residuo, y tiene que reaparecer el dividendo tal cual.