Relaciones y álgebra
Ecuaciones cuadráticas: fórmula general y discriminante
Al terminar vas a poder resolver cualquier ecuación de segundo grado con la fórmula general, deducir de dónde sale el discriminante y por qué su signo decide la cantidad de soluciones, y comprobar tus raíces sin volver a resolver.
La forma que hay que reconocer primero
Una ecuación cuadrática es la que se puede escribir así:
ax² + bx + c = 0, con a distinto de 0
La condición a ≠ 0 no es un detalle: si a fuera cero, desaparecería el término cuadrático y quedaría una ecuación de primer grado, que se resuelve despejando y tiene una sola solución.
Antes de aplicar cualquier fórmula hay que llevar la ecuación a esa forma, con todo de un lado y cero del otro. Si te dan 3x² = 5x − 2, primero pasás todo: 3x² − 5x + 2 = 0, y ahí leés a = 3, b = −5, c = 2. El signo va pegado al coeficiente: b es −5, no 5.
De dónde sale la fórmula general
La fórmula no cae del cielo. Sale de un procedimiento que se llama completar el cuadrado, y verlo una vez cambia todo, porque explica por qué aparece la raíz y por qué aparece b² − 4ac adentro.
Partimos de ax² + bx + c = 0. Dividimos todo entre a, que se puede porque a no es cero:
x² + (b/a)x + c/a = 0
Pasamos el término independiente: x² + (b/a)x = −c/a.
Ahora el paso clave. Queremos que el lado izquierdo sea un cuadrado perfecto, o sea de la forma (x + algo)². Como (x + m)² = x² + 2mx + m², comparando con nuestro término del medio vemos que 2m = b/a, así que m = b/(2a). Para completar el cuadrado hay que sumar m², que es b²/(4a²), a los dos lados:
x² + (b/a)x + b²/(4a²) = −c/a + b²/(4a²)
El lado izquierdo ya es (x + b/(2a))². El derecho se junta con denominador común 4a²: queda (b² − 4ac)/(4a²).
Sacamos raíz a los dos lados, y aquí aparece el ± porque un número positivo tiene dos raíces, una positiva y otra negativa:
x + b/(2a) = ±√(b² − 4ac) ÷ (2a)
Despejando x:
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)
La fórmula general es el resultado de completar el cuadrado en el caso general. El ± viene de la raíz, y lo que está bajo la raíz es lo que quedó del lado derecho.
El discriminante: por qué decide todo
Llamamos discriminante a la expresión que quedó bajo la raíz:
Δ = b² − 4ac
Su nombre viene de «discriminar», o sea distinguir. Y lo que distingue es cuántas soluciones reales tiene la ecuación, sin necesidad de resolverla.
La razón es directa: la fórmula manda sacar √Δ. Entonces todo depende de qué se pueda hacer con esa raíz.
| Si Δ es… | La raíz… | Soluciones reales |
|---|---|---|
| positivo | da un número distinto de cero | dos distintas |
| cero | da cero | una (doble) |
| negativo | no existe en los reales | ninguna |
Cuando Δ = 0, el ± suma y resta cero, así que los dos caminos dan el mismo resultado: x = −b ÷ (2a). Por eso se dice que hay una solución doble.
Cuando Δ es negativo, no hay ningún número real cuyo cuadrado sea negativo, así que la operación no se puede hacer y en los reales no hay solución. Gráficamente, la parábola no cruza el eje x.
Las dos comprobaciones que ahorran tiempo
Si x₁ y x₂ son las soluciones, se cumplen dos relaciones que salen de la fórmula misma. Sumando las dos expresiones, las raíces se cancelan:
x₁ + x₂ = −b ÷ a
Y multiplicándolas, aparece una diferencia de cuadrados que se simplifica:
x₁ · x₂ = c ÷ a
Sirven para verificar sin rehacer la cuenta. Si resolviste 2x² − 7x + 3 = 0 y te dieron 3 y 0,5, comprobá: 3 + 0,5 = 3,5 y −b ÷ a = 7 ÷ 2 = 3,5. Y 3 · 0,5 = 1,5 = c ÷ a = 3 ÷ 2. Las dos cuadran.
Ejemplos resueltos
1. Resolvé x² − 5x + 6 = 0. a = 1, b = −5, c = 6. Δ = (−5)² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1, positivo: dos soluciones. x = (5 ± √1) ÷ 2 = (5 ± 1) ÷ 2. x₁ = 6 ÷ 2 = 3; x₂ = 4 ÷ 2 = 2. Control: 3 + 2 = 5 = −b ÷ a, y 3 · 2 = 6 = c ÷ a. Correcto.
2. Resolvé 4x² − 12x + 9 = 0. a = 4, b = −12, c = 9. Δ = 144 − 4(4)(9) = 144 − 144 = 0: una solución doble. x = 12 ÷ 8 = 1,5. Fijate que 4x² − 12x + 9 = (2x − 3)², lo que confirma la raíz doble: el trinomio era un cuadrado perfecto.
3. Resolvé x² + 2x + 5 = 0. a = 1, b = 2, c = 5. Δ = 4 − 20 = −16, negativo. No tiene soluciones reales. No hay que seguir calculando: la raíz de un número negativo no existe entre los reales. Su parábola queda entera por encima del eje x.
4. Resolvé 3x² = 5x + 2. Primero a la forma general: 3x² − 5x − 2 = 0. Entonces a = 3, b = −5, c = −2. Δ = 25 − 4(3)(−2) = 25 + 24 = 49. Ojo con el signo: restar un producto negativo suma. x = (5 ± 7) ÷ 6. x₁ = 12 ÷ 6 = 2; x₂ = −2 ÷ 6 = −1/3. Control: 2 + (−1/3) = 5/3 = −b ÷ a. Y 2 · (−1/3) = −2/3 = c ÷ a. Correcto.
5. Un rectángulo tiene 3 m más de largo que de ancho y su área es 40 m². ¿Cuánto mide cada lado? Llamemos x al ancho. El largo es x + 3 y el área es x(x + 3) = 40, o sea x² + 3x − 40 = 0. Δ = 9 + 160 = 169, y √169 = 13. x = (−3 ± 13) ÷ 2, lo que da x₁ = 5 y x₂ = −8. La solución −8 es matemáticamente válida pero se descarta: un ancho no puede ser negativo. El rectángulo mide 5 m por 8 m, y 5 · 8 = 40. Cuadra.
Los errores que más se cobran
- Leer los coeficientes sin el signo. En 3x² − 5x + 2, el valor de b es −5. Tomarlo como 5 cambia el signo del −b y da raíces equivocadas.
- No llevar la ecuación a la forma ax² + bx + c = 0 antes de leer coeficientes. La fórmula está deducida para esa forma; si hay términos del otro lado del igual, los coeficientes que leas no son los verdaderos.
- Olvidar que −4ac suma cuando c es negativo. En Δ = 25 − 4(3)(−2), el producto da −24 y restarlo suma 24. Este signo decide muchas veces si hay o no soluciones.
- Dividir solo el término de la raíz entre 2a. El denominador 2a afecta a todo el numerador, incluido el −b. Escribir la fracción con la barra larga evita el error.
- Buscar soluciones cuando el discriminante es negativo. Si Δ es negativo, la respuesta es «no hay soluciones reales», y esa es una respuesta completa, no un ejercicio inconcluso.
- Aceptar una solución que el problema no admite. En un problema de longitudes, un resultado negativo se descarta por el contexto, no por la matemática. Hay que decir por qué se descarta.
Clave de análisis
La fórmula general no hay que guardarla como una cadena de símbolos: se reconstruye completando el cuadrado. Dividís todo entre a, pasás el término independiente, y sumás a ambos lados el cuadrado de la mitad del coeficiente de x para que la izquierda se vuelva un binomio al cuadrado. Al sacar raíz aparece el ±, porque dos números opuestos tienen el mismo cuadrado, y lo que quedaba del lado derecho es exactamente b² − 4ac sobre 4a². Despejando x sale la fórmula entera.
De esa deducción salen sin esfuerzo las tres conclusiones que se preguntan. El discriminante decide la cantidad de soluciones porque es lo que entra en la raíz: si es positivo el ± abre dos caminos distintos, si es cero los dos caminos coinciden, y si es negativo la raíz no existe entre los reales. Y las relaciones x₁ + x₂ = −b ÷ a y x₁ · x₂ = c ÷ a se obtienen sumando y multiplicando las dos expresiones de la fórmula, lo que las convierte en un control rápido que confirma tus raíces sin resolver de nuevo.