Simplificar y operar expresiones fraccionarias

Al terminar vas a poder simplificar una expresión algebraica fraccionaria sin cancelar de más, explicar por qué solo se cancelan factores y nunca sumandos, y sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas indicando siempre las restricciones.

Qué es una expresión fraccionaria y qué la vuelve peligrosa

Una expresión algebraica fraccionaria es un cociente de polinomios, como (x² − 9) ÷ (x + 3). Se comporta igual que una fracción numérica, con una diferencia que cambia todo: el denominador tiene letras, así que puede volverse cero para ciertos valores.

Dividir entre cero no está definido. Por eso, antes de operar, hay que preguntarse qué valores de la variable anulan el denominador y excluirlos. En (x² − 9) ÷ (x + 3), el denominador se anula cuando x = −3, así que la expresión existe para x ≠ −3.

Las restricciones se leen del denominador original, antes de simplificar. Si simplificás primero, el denominador problemático desaparece del papel pero el valor prohibido sigue prohibido.

Eso último es la trampa más cobrada del tema y conviene verla ahora: (x² − 9) ÷ (x + 3) se simplifica a x − 3, pero x = −3 sigue estando excluido, porque la expresión original no existía ahí.

Simplificar: solo se cancelan factores

Simplificar una fracción es dividir arriba y abajo entre lo mismo. En números, 12/18 se simplifica entre 6 y queda 2/3.

Con letras, el requisito es el mismo, pero se vuelve exigente: para cancelar hay que tener un factor común, y un factor es algo que está multiplicando a todo lo demás.

Mirá el caso. En (x² − 9) ÷ (x + 3), el numerador es una diferencia de cuadrados: x² − 9 = (x + 3)(x − 3). Ahora sí se ve el factor común:

(x + 3)(x − 3) ÷ (x + 3) = x − 3, con x ≠ −3

El (x + 3) se canceló porque estaba multiplicando en los dos lados.

Ahora mirá lo que no se puede hacer. En (x + 5) ÷ x, muchos cancelan las x y escriben 5. Es falso: probá con x = 1. La expresión vale (1 + 5) ÷ 1 = 6, no 5. La x del numerador está sumando, no multiplicando, así que no es un factor.

De ahí sale la regla de oro del tema:

Se cancelan factores, nunca sumandos. Si arriba o abajo hay sumas o restas sin factorizar, no se cancela nada: primero se factoriza.

Multiplicar y dividir: lo fácil

Multiplicar fracciones algebraicas es multiplicar numeradores entre sí y denominadores entre sí. Pero conviene factorizar primero y cancelar antes de multiplicar, porque así los polinomios nunca crecen.

Dividir es multiplicar por el recíproco: se da vuelta la segunda fracción y se multiplica. La razón es la misma que en números: dividir entre 2/3 es multiplicar por 3/2, porque dividir entre una fracción es preguntar cuántas veces cabe.

Al dividir hay una restricción extra: el numerador de la segunda fracción también va al denominador, así que también tiene que ser distinto de cero.

Sumar y restar: hace falta denominador común

Sumar fracciones exige que las partes sean del mismo tamaño. Con 1/3 + 1/4 no se puede sumar directo porque los tercios y los cuartos no son la misma unidad; hay que llevarlos a doceavos.

Con letras es igual. El denominador común se arma factorizando cada denominador y tomando todos los factores distintos, cada uno con su mayor exponente. Después se multiplica cada numerador por lo que le faltó a su denominador.

Y un aviso sobre la resta: cuando el segundo numerador tiene más de un término, el signo menos afecta a todos. Es el error que más aparece, y se evita escribiendo el numerador entre paréntesis antes de operar.

Ejemplos resueltos

1. Simplificá (x² − 4) ÷ (x² + 4x + 4) e indicá restricciones. Factorizamos arriba: x² − 4 = (x + 2)(x − 2), diferencia de cuadrados. Factorizamos abajo: x² + 4x + 4 = (x + 2)², trinomio cuadrado perfecto. Restricción del denominador original: x + 2 ≠ 0, o sea x ≠ −2. Cancelamos un (x + 2): queda (x − 2) ÷ (x + 2), con x ≠ −2.

2. Multiplicá (x² − 1) ÷ (x + 3) por (x + 3) ÷ (x − 1). Factorizamos: x² − 1 = (x + 1)(x − 1). Restricciones: x ≠ −3 y x ≠ 1. Antes de multiplicar, cancelamos: el (x + 3) de arriba con el de abajo, y el (x − 1) de arriba con el de abajo. Queda x + 1, con x ≠ −3 y x ≠ 1.

3. Sumá 3 ÷ x + 2 ÷ (x + 1). Los denominadores no tienen factores comunes, así que el común es su producto: x(x + 1). Restricciones: x ≠ 0 y x ≠ −1. Al primero le falta (x + 1): 3(x + 1) = 3x + 3. Al segundo le falta x: 2 · x = 2x. Sumamos numeradores: 3x + 3 + 2x = 5x + 3. Resultado: (5x + 3) ÷ (x(x + 1)), con x ≠ 0 y x ≠ −1.

4. Restá (2x + 1) ÷ (x − 2) − (x + 4) ÷ (x − 2). Mismo denominador, así que se restan los numeradores. Ojo con el paréntesis: (2x + 1) − (x + 4) = 2x + 1 − x − 4 = x − 3. Resultado: (x − 3) ÷ (x − 2), con x ≠ 2. Si se olvida el paréntesis, sale 2x + 1 − x + 4 = x + 5, que está mal por el signo del 4.

5. Dividí (x² − 9) ÷ (2x) entre (x + 3) ÷ (4x²). Se multiplica por el recíproco: (x² − 9) ÷ (2x) · (4x²) ÷ (x + 3). Factorizamos: x² − 9 = (x + 3)(x − 3). Restricciones: x ≠ 0 (de los denominadores) y x ≠ −3 (porque x + 3 pasa al denominador). Cancelamos (x + 3) y simplificamos 4x² ÷ (2x) = 2x. Queda 2x(x − 3), con x ≠ 0 y x ≠ −3.

Los errores que más se cobran

1. Cancelar sumandos. En (x + 5) ÷ x no se puede cancelar la x, porque está sumando. La cancelación es una división, y dividir un producto entre uno de sus factores es válido; dividir una suma entre uno de sus sumandos no lo es.
2. Simplificar sin factorizar primero. Mientras haya sumas y restas sin agrupar en factores, no hay nada que cancelar. La factorización es el paso que hace visible el factor común.
3. Sacar las restricciones de la expresión ya simplificada. El valor que anulaba el denominador original sigue prohibido aunque el factor se haya cancelado, porque la expresión original nunca existió ahí.
4. Olvidar el paréntesis al restar. El signo menos afecta a todo el numerador que sigue. Escribir la resta con paréntesis antes de distribuir es la forma de no perder el signo del segundo y tercer término.
5. Sumar numeradores con denominadores distintos. Sin denominador común, las partes no son del mismo tamaño y la suma no significa nada, igual que con 1/3 + 1/4.
6. No excluir el numerador del divisor al dividir. Al dar vuelta la segunda fracción, su numerador pasa abajo, así que también tiene que ser distinto de cero. Esa restricción se olvida casi siempre.

Clave de análisis

Todo el tema se sostiene en una sola idea, y de ella se deducen las demás: cancelar es dividir arriba y abajo entre lo mismo, y una división solo se simplifica contra un factor. Por eso, antes de tocar nada, hay que convertir sumas y restas en productos, o sea factorizar. Si después de factorizar no aparece un factor repetido arriba y abajo, la expresión ya estaba simplificada.

La segunda idea es que el denominador nunca puede ser cero, y eso se evalúa sobre la expresión original, porque las restricciones son parte de la identidad de la expresión y no desaparecen cuando el factor se cancela. Con esas dos ideas se arma el resto sin fórmulas aparte: multiplicar y dividir se resuelven factorizando y cancelando, con el recuerdo de que dividir es multiplicar por el recíproco; sumar y restar exigen partes del mismo tamaño, o sea denominador común, y el signo menos que precede a una fracción se reparte sobre cada término de su numerador.