Factorizar polinomios: todos los casos

Al terminar vas a poder decidir cuál método de factorización corresponde mirando el polinomio, explicar por qué el orden de los casos no es arbitrario, y comprobar cualquier factorización multiplicando de vuelta.

Qué es factorizar y para qué sirve

Factorizar es escribir una suma como un producto. Donde había x² + 5x + 6, queda (x + 2)(x + 3).

¿Por qué vale la pena? Por una propiedad que solo tienen los productos: si un producto da cero, alguno de sus factores es cero. Con una suma no se puede decir nada parecido. Por eso, para resolver x² + 5x + 6 = 0 se factoriza y se concluye que x + 2 = 0 o x + 3 = 0.

Además, factorizar es lo que permite simplificar fracciones algebraicas, porque solo se cancelan factores.

La comprobación es siempre la misma y nunca falla: multiplicá los factores de vuelta. Si no reaparece el polinomio original, la factorización está mal.

El orden no es arbitrario: primero el factor común

El primer paso, siempre, es buscar factor común. No por costumbre: porque sacarlo deja un polinomio más simple, de menor grado o con coeficientes más chicos, y eso puede revelar un caso que estaba escondido.

El factor común es lo que aparece multiplicando en todos los términos: el máximo común divisor de los coeficientes y la menor potencia de cada letra presente.

En 6x³ − 9x², el común es 3x², y queda 3x²(2x − 3). En 2x² − 18, el común es 2, y queda 2(x² − 9). Y ahí se ve que el paréntesis es una diferencia de cuadrados, que sin haber sacado el 2 no se notaba tan claro: 2(x + 3)(x − 3).

Si sacás el factor común primero, los demás casos se vuelven visibles. Si no lo sacás, se te pierden factorizaciones que sí estaban.

Los casos, y la señal que delata a cada uno

Después del factor común, se mira cuántos términos quedaron. Ese conteo es lo que orienta la decisión.

Dos términos: diferencia de cuadrados. Señal: los dos términos son cuadrados perfectos y están restándose. a² − b² = (a + b)(a − b) No es una fórmula que haya que aceptar. Multiplicá (a + b)(a − b): da a² − ab + ab − b², y los términos del medio se cancelan. Ese es el motivo por el que funciona. Atención: a² + b², la suma de cuadrados, no se factoriza con números reales, porque nunca se cancela nada.

Tres términos: trinomio. Hay dos subcasos. Si el primero y el último son cuadrados perfectos y el del medio es el doble del producto de sus raíces, es un trinomio cuadrado perfecto: a² + 2ab + b² = (a + b)². Sale de desarrollar el binomio al cuadrado. Si no, se prueba el trinomio de la forma x² + bx + c: se buscan dos números que sumen b y multipliquen c. Funciona porque al desarrollar (x + m)(x + n) queda x² + (m + n)x + mn: el coeficiente del medio es la suma y el independiente es el producto. Así que no se está adivinando: se está leyendo la estructura.

Cuatro términos: agrupación. Se separan en dos parejas, se saca factor común de cada una, y si el paréntesis que queda es el mismo en ambas, ese paréntesis se vuelve factor común de todo.

Factorizar hasta el fondo

Una factorización está completa cuando ningún factor se puede seguir factorizando.

Ejemplo: x⁴ − 16. Es diferencia de cuadrados: (x² + 4)(x² − 4). Pero el segundo paréntesis es otra diferencia de cuadrados: (x + 2)(x − 2). La factorización completa es (x² + 4)(x + 2)(x − 2). El (x² + 4) se queda así porque es suma de cuadrados.

Parar antes de tiempo es un error frecuente, y se detecta revisando cada factor al final.

Ejemplos resueltos

1. Factorizá 5x³ − 20x. Factor común: 5x. Queda 5x(x² − 4). El paréntesis es diferencia de cuadrados: x² − 4 = (x + 2)(x − 2). Resultado: 5x(x + 2)(x − 2). Comprobación: 5x(x² − 4) = 5x³ − 20x. Correcto.

2. Factorizá x² − 7x + 12. Buscamos dos números que sumen −7 y multipliquen 12. Como el producto es positivo y la suma negativa, los dos son negativos: −3 y −4, porque (−3)(−4) = 12 y −3 + (−4) = −7. Resultado: (x − 3)(x − 4). Comprobación: x² − 4x − 3x + 12 = x² − 7x + 12. Correcto.

3. Factorizá 9x² − 30x + 25. Revisamos si es cuadrado perfecto. El primero es (3x)² y el último es 5². El doble producto sería 2 · 3x · 5 = 30x, y en efecto el término del medio es −30x. Como el signo del medio es negativo, el binomio lleva resta: (3x − 5)². Comprobación: (3x − 5)² = 9x² − 30x + 25. Correcto.

4. Factorizá 2x³ + 6x² + 5x + 15. Cuatro términos, así que agrupamos: (2x³ + 6x²) + (5x + 15) De la primera pareja sale 2x²: 2x²(x + 3). De la segunda sale 5: 5(x + 3). El paréntesis (x + 3) se repite, así que es factor común: (x + 3)(2x² + 5). El 2x² + 5 no se factoriza más: es suma, no diferencia.

5. Un estudiante factoriza x² + 9 como (x + 3)(x − 3). ¿Está bien? No. Comprobando: (x + 3)(x − 3) = x² − 9, no x² + 9. La diferencia de cuadrados exige una resta; en la suma de cuadrados los términos del medio no se cancelan y no hay factorización con números reales. La comprobación por multiplicación detecta este error en diez segundos.

Los errores que más se cobran

1. Saltarse el factor común. Es el primer paso porque simplifica el resto. Sin sacarlo, un polinomio como 2x² − 18 parece no tener caso y sí lo tiene.
2. Factorizar una suma de cuadrados. x² + 9 no se factoriza en los reales. La fórmula de diferencia funciona porque los productos cruzados se cancelan, y eso solo pasa con el signo menos entre los cuadrados.
3. Equivocar los signos en el trinomio. Si el producto es positivo, los dos números tienen el mismo signo, y ese signo lo decide la suma. Si el producto es negativo, tienen signos distintos. Razonarlo así evita probar a ciegas.
4. Parar antes de tiempo. Una factorización está completa cuando ningún factor admite otra. Después de factorizar, hay que revisar cada paréntesis.
5. Agrupar mal los cuatro términos. La agrupación funciona si los paréntesis resultantes coinciden. Si no coinciden, hay que probar otra pareja antes de darse por vencido.
6. No comprobar multiplicando. Es el control más barato de toda el álgebra: multiplicás los factores y tiene que volver el polinomio original, término por término.

Clave de análisis

No hace falta guardar una lista de casos si entendés que cada caso es un producto notable leído al revés. La diferencia de cuadrados es lo que queda al multiplicar (a + b)(a − b), donde los términos cruzados se cancelan; el trinomio cuadrado perfecto es el desarrollo de un binomio al cuadrado; y el trinomio x² + bx + c es el desarrollo de (x + m)(x + n), donde el coeficiente del medio resulta ser la suma de m y n y el término independiente su producto. Por eso, cuando buscás «dos números que sumen y multipliquen», no estás adivinando: estás deshaciendo una multiplicación conocida.

Para decidir el método alcanza con dos preguntas, en este orden. Primero: ¿hay algo que multiplique a todos los términos? Si lo hay, se saca, siempre, porque después queda un polinomio más simple donde los otros casos se hacen visibles. Segundo: ¿cuántos términos quedaron? Dos apuntan a diferencia de cuadrados, tres a un trinomio, cuatro a agrupación. Y al final, el único control que necesitás es multiplicar de vuelta: si no reaparece el polinomio original, la factorización está mal, sin importar cuán prolijo se vea el procedimiento.