Relaciones y álgebra
Función cuadrática: parábola, vértice e intersecciones
Al terminar vas a poder graficar una parábola a partir de su criterio, deducir la fórmula del vértice en vez de recibirla, y decidir cuántas veces corta el eje x antes de hacer ningún cálculo.
La función cuadrática y la forma de su gráfico
Una función cuadrática tiene criterio f(x) = ax² + bx + c, con a ≠ 0. Su gráfico es una curva llamada parábola.
Lo primero que se lee sin calcular nada es hacia dónde abre, y lo decide el signo de a.
Si a es positivo, cuando x se hace muy grande —para cualquier lado— el término ax² domina y se vuelve muy grande y positivo: la curva sube por los dos extremos, así que abre hacia arriba y tiene un mínimo. Si a es negativo, pasa lo contrario: abre hacia abajo y tiene un máximo.
El valor absoluto de a controla la abertura: mientras mayor sea, más rápido crece ax² y más cerrada se ve la parábola.
El eje de simetría sale de la simetría, no de una fórmula
Toda parábola es simétrica respecto a una recta vertical que pasa por el vértice. De ahí se puede deducir dónde está el vértice, sin recibir la fórmula como un regalo.
Preguntémonos dónde la función vale c, que es el valor en x = 0. Resolvemos ax² + bx + c = c, o sea ax² + bx = 0, y factorizando: x(ax + b) = 0. Las soluciones son x = 0 y x = −b ÷ a.
Encontramos dos puntos de la parábola a la misma altura. Por simetría, el eje tiene que pasar justo por el punto medio entre ellos:
x = (0 + (−b ÷ a)) ÷ 2 = −b ÷ (2a)
Esa es la abscisa del vértice. Y la ordenada se obtiene evaluando: se sustituye ese valor en la función.
El vértice no se calcula con una fórmula caída del cielo: es el punto medio entre dos puntos de igual altura, y la simetría de la parábola garantiza que ahí está el máximo o el mínimo.
Las intersecciones: dónde corta cada eje
Con el eje y siempre hay una sola, y es inmediata: se hace x = 0 y queda f(0) = c. Entonces el punto es (0, c). Por eso c se llama a veces la ordenada al origen, y se lee del criterio sin operar.
Con el eje x hay que resolver ax² + bx + c = 0, porque cortar ese eje significa que la altura es cero. Es una ecuación cuadrática, así que el discriminante Δ = b² − 4ac decide cuántos cortes hay:
| Δ | Cortes con el eje x | Posición del vértice |
|---|---|---|
| positivo | dos puntos | el vértice cruzó el eje |
| cero | un punto | el vértice toca el eje |
| negativo | ninguno | la parábola no llega al eje |
Y esto se puede leer al revés, que es lo útil: si a es positivo y el vértice está por encima del eje x, la parábola entera está arriba y no puede haber cortes. La geometría y el álgebra dicen lo mismo.
Cómo se grafica en cinco puntos
Con lo anterior, graficar es rápido y no requiere tabla larga.
- Mirá el signo de a y decidí hacia dónde abre.
- Calculá x = −b ÷ (2a) y evaluá para obtener el vértice.
- Marcá el corte con el eje y en (0, c).
- Calculá el discriminante y, si hay cortes con el eje x, hallá las raíces.
- Aprovechá la simetría: el simétrico de (0, c) está a la misma altura, del otro lado del eje. Cada punto te regala otro gratis.
Ejemplos resueltos
1. Graficá f(x) = x² − 6x + 5. a = 1, positivo: abre hacia arriba, tiene mínimo. Vértice: x = 6 ÷ 2 = 3, y f(3) = 9 − 18 + 5 = −4. Vértice (3, −4). Corte con y: (0, 5). Δ = 36 − 20 = 16, positivo: dos cortes. x = (6 ± 4) ÷ 2 da (1, 0) y (5, 0). Control de simetría: 1 y 5 están a la misma distancia de 3. Cuadra.
2. ¿Cuántas veces corta el eje x la función f(x) = 2x² + 3x + 5? Δ = 9 − 4(2)(5) = −31, negativo: ninguna vez. Verificación por otro camino: a es positivo, así que abre hacia arriba. El vértice está en x = −0,75, y f(−0,75) = 1,125 − 2,25 + 5 = 3,875. El mínimo queda por encima del eje, así que la curva nunca lo toca.
3. Hallá el vértice de f(x) = −2x² + 8x − 3 y decidí si es máximo o mínimo. a = −2, negativo: abre hacia abajo, así que el vértice es un máximo. x = −8 ÷ (2 · (−2)) = −8 ÷ (−4) = 2. f(2) = −2(4) + 16 − 3 = −8 + 16 − 3 = 5. Vértice (2, 5), y el valor máximo de la función es 5.
4. Una pelota sigue la altura h(t) = −5t² + 20t, con t en segundos y h en metros. ¿Cuándo alcanza la altura máxima y cuál es? a = −5, negativo: hay máximo. t = −20 ÷ (−10) = 2 segundos, y h(2) = −20 + 40 = 20 metros. ¿Cuándo toca el suelo? h(t) = 0 da t(−5t + 20) = 0, o sea t = 0 y t = 4. El máximo cae justo en la mitad, a los 2 s: la simetría lo confirma.
5. Una parábola corta el eje x en 2 y en 8. ¿Dónde está su eje de simetría? Por simetría, el eje pasa por el punto medio de los dos cortes: (2 + 8) ÷ 2 = x = 5. No hizo falta conocer a, b ni c. Este razonamiento es el mismo que se usó para deducir la fórmula del vértice, aplicado a dos puntos de altura cero en vez de altura c.
Los errores que más se cobran
- Olvidar el signo menos en −b ÷ (2a). Si b es negativo, −b es positivo. En x² − 6x + 5, b = −6 y la abscisa es 6 ÷ 2 = 3, no −3.
- Dar solo la abscisa del vértice. El vértice es un punto y necesita las dos coordenadas. La segunda se obtiene evaluando la función en la primera.
- Confundir el corte con el eje y con el vértice. El corte con el eje y es (0, c) siempre; el vértice coincide con él solo cuando b = 0, o sea cuando la parábola es simétrica respecto al eje vertical.
- Buscar raíces cuando el discriminante es negativo. Si Δ es negativo, la parábola no corta el eje x, y eso es una respuesta completa. Seguir operando no produce nada.
- Decidir la orientación por el signo de c. Lo que decide hacia dónde abre es el signo de a, porque es el término que domina cuando x crece. El c solo mueve la curva hacia arriba o hacia abajo.
- Graficar con puntos sueltos y unirlos con rectas. La parábola es curva y simétrica. Si no marcás el vértice, la unión de puntos produce una figura torcida que no corresponde a la función.
Clave de análisis
Toda la lección se reconstruye con dos ideas. La primera: cuando x es grande, el término ax² manda sobre los demás, porque crece mucho más rápido. De ahí sale que el signo de a decide hacia dónde abre la parábola y, por lo tanto, si el vértice es un mínimo o un máximo.
La segunda: la parábola es simétrica, y esa simetría permite ubicar el vértice sin fórmula. Buscá dos valores de x con la misma imagen —los más fáciles son x = 0 y x = −b ÷ a, que ambos dan c— y el eje pasa por el punto medio entre ellos, o sea en x = −b ÷ (2a). El mismo truco funciona con las raíces: si conocés los dos cortes con el eje x, el eje de simetría está en su promedio.
Con eso, las intersecciones dejan de ser dos temas. La del eje y es inmediata: x = 0 anula los dos primeros términos y queda c. Las del eje x exigen resolver la cuadrática, y el discriminante anticipa el resultado, porque su signo dice si el vértice quedó de un lado del eje, apoyado en él, o del otro.