Ley de los grandes números con ejemplos

Al terminar vas a poder distinguir la probabilidad teórica de la frecuencia relativa observada, explicar por qué la moneda no «se acuerda» de lo que salió antes, y decidir cuándo una cantidad de repeticiones alcanza para confiar en un resultado experimental.

Dos maneras de ponerle número al azar

Hay dos caminos para decir qué tan probable es algo, y conviene tenerlos separados desde el inicio.

El primero es contar los casos posibles antes de tirar nada. Un dado común tiene seis caras iguales; si ninguna pesa más que otra, la probabilidad de sacar 5 es 1 de 6, o sea 1 ÷ 6 ≈ 0,1667. Eso es la probabilidad teórica: sale de la estructura del experimento, no de haberlo hecho.

El segundo es tirar el dado muchas veces y anotar. Si en 60 tiros el 5 salió 8 veces, la frecuencia relativa es 8 ÷ 60 ≈ 0,133. Este número sale de la experiencia y cambia cada vez que repetís la tanda.

La ley de los grandes números dice cómo se relacionan los dos: mientras más repeticiones hagás, la frecuencia relativa observada se acerca a la probabilidad teórica.

No dice que se vuelvan iguales. Dice que la distancia entre ambas se hace pequeña y se queda pequeña.

Por qué pasa eso: el peso de cada tiro se diluye

La razón es aritmética, no mágica. Con 10 tiros, un tiro vale 1 ÷ 10 = 0,10 de la frecuencia: un solo resultado raro mueve el resultado diez puntos. Con 1 000 tiros, un tiro vale 1 ÷ 1 000 = 0,001: ese mismo resultado raro casi no se nota.

El denominador crece y aplasta a cada dato individual. Por eso las tandas cortas dan números saltones y las largas dan números quietos. Mirá cómo se comporta una moneda honrada, donde la teórica de «escudo» es 0,5:

Fijate en algo que confunde a mucha gente: la diferencia absoluta no baja. En la primera fila sobran 2 escudos respecto a los 5 esperados; en la última sobran 32. Lo que baja es la diferencia relativa, porque esos 32 se reparten entre 10 000. La ley habla de proporciones, no de conteos.

El error del jugador: la moneda no tiene memoria

Si salieron seis escudos seguidos, mucha gente dice «ya viene corona, tiene que emparejar». Eso es falso, y la ley de los grandes números es justo lo que lo desmiente.

Cada lanzamiento es independiente: la moneda no guarda registro. La probabilidad del séptimo tiro sigue siendo 0,5, exactamente igual que la del primero. Entonces, ¿cómo se «empareja» el promedio? No emparejando: diluyendo. Esos seis escudos siguen ahí, pero cuando llevés 5 000 tiros pesan 6 sobre 5 000 y ya no mueven nada.

Lo mismo vale para la lotería: un número que no ha salido en años no está «atrasado». Las bolitas son las mismas todas las semanas.

Cuántas repeticiones hacen falta

La ley no fija un número mágico, pero sí da un criterio práctico: repetí hasta que la frecuencia relativa deje de moverse en la cifra que te importa.

Si querés el resultado con una cifra decimal, seguí tirando hasta que esa cifra se quede quieta durante varias tandas seguidas. Si querés dos cifras, vas a necesitar bastantes más repeticiones, porque para estabilizar la segunda cifra hace falta que cada tiro pese mucho menos.

Por eso una encuesta seria consulta a cientos de personas y no a las cinco que van pasando por la parada. Con pocas observaciones, el azar se disfraza de tendencia.

Ejemplos resueltos

1. En 40 tiros de un dado, el 3 salió 11 veces. ¿Está cargado? La teórica es 1 ÷ 6 ≈ 0,167 y la observada es 11 ÷ 40 = 0,275. Parece mucho, pero 40 tiros es poco: cada tiro pesa 0,025 y basta con que salgan tres treses de más para mover la frecuencia 0,075. No se puede concluir nada todavía. Con 600 tiros, si el 3 siguiera cerca de 0,27, ahí sí la sospecha tendría fuerza.

2. Una tanda de 200 tiros de moneda dio 96 escudos. ¿Qué tan lejos está de lo esperado? Lo esperado es 200 × 0,5 = 100 escudos. Faltaron 4, o sea una diferencia absoluta de 4. En proporción: 96 ÷ 200 = 0,48, contra 0,5 teórico, una diferencia de 0,02. Es un desvío pequeño y perfectamente normal en una moneda honrada.

3. Un pulpero vende 500 confites y 8 salieron malos. Estima la probabilidad de que el siguiente salga malo. No hay teórica aquí: no conocemos la estructura del proceso de fábrica. Solo queda la vía experimental. La estimación es 8 ÷ 500 = 0,016, es decir 1,6 %. La ley de los grandes números es lo que autoriza esa estimación: con 500 observaciones la frecuencia relativa ya es un valor razonablemente estable. Con 5 confites no lo sería.

4. Salieron cinco coronas seguidas. ¿Cuál es la probabilidad de escudo en el sexto tiro? 0,5. Los cinco resultados anteriores no cambian la moneda. La trampa de la pregunta es confundir «cinco coronas seguidas a partir de ahora» —que sí es poco probable, porque hay que multiplicar cinco veces 0,5— con «escudo en el próximo tiro sabiendo lo que ya pasó», que vale 0,5 siempre.

5. Dos estudiantes estiman la probabilidad de «cara» con una tapa de olla. Uno hace 30 tiros y le da 0,60; el otro hace 900 y le da 0,54. ¿Cuál estimación se usa? La de 900 tiros. No porque el resultado guste más, sino porque cada tiro pesa 1 ÷ 900 ≈ 0,0011 contra 1 ÷ 30 ≈ 0,033: la segunda estimación es unas treinta veces menos sensible a un golpe de suerte.

Los errores que más se cobran

1. Creer que la ley obliga a emparejar los conteos. No hay ninguna fuerza que devuelva coronas. Lo que se acerca a la teórica es la proporción; la diferencia en cantidad puede crecer sin que eso contradiga nada.
2. Sacar conclusiones de tandas cortas. Con pocas repeticiones el denominador es chico y cualquier resultado atípico mueve la frecuencia muchísimo. Lo que parece una tendencia suele ser ruido.
3. Confundir probabilidad teórica con frecuencia observada. La primera se calcula contando casos posibles; la segunda se mide repitiendo. Si las igualás, no vas a poder detectar nunca un dado cargado, que es precisamente cuando ambas se separan de verdad.
4. Aplicar la teórica a un experimento que no tiene casos igualmente probables. El 1 ÷ 6 del dado supone seis caras idénticas. Una tachuela, una tapa de olla o un confite defectuoso no tienen esa simetría, así que ahí la única vía es la experimental.
5. Pensar que un número «está atrasado» en la lotería. Las bolitas no llevan cuenta de lo que pasó. La independencia entre sorteos es la razón, y es la misma razón por la que la ley funciona.
6. Creer que muchas repeticiones garantizan el resultado exacto. La ley promete acercamiento, no igualdad. Una tanda enorme puede dar 0,4997 en vez de 0,5000 y eso no es un error de nadie.

Clave de análisis

Si se te olvida el enunciado, reconstruilo con la fracción. La frecuencia relativa es conteo dividido entre repeticiones. Cuando el denominador crece, el peso de cada observación individual —que es 1 dividido entre las repeticiones— se hace diminuto, así que los golpes de suerte dejan de mover el resultado. Eso, y nada más que eso, es la ley de los grandes números: la estabilidad viene del denominador.

De ahí salen las dos consecuencias que suelen preguntar. Primera: la independencia queda intacta, porque nada en el argumento dice que un tiro influya en otro; lo pasado se diluye, no se compensa. Segunda: la ley es la licencia para estimar probabilidades desconocidas midiendo. Si dudás entre dos estimaciones, mirá el denominador antes que el resultado.