Geometría
Ley de senos para resolver triángulos
Al terminar vas a poder reconocer cuándo un triángulo se resuelve con la ley de senos, explicar de dónde sale la proporción usando la altura del triángulo, y calcular un lado o un ángulo que falta comprobando el resultado.
El problema: triángulos que no son rectángulos
Las razones seno, coseno y tangente se definen en el triángulo rectángulo. Pero la mayoría de los triángulos del mundo no tienen ángulo recto: el terreno de una finca o el que forman dos observadores y un volcán.
La ley de senos extiende la trigonometría a esos triángulos. Dice que en cualquier triángulo, cada lado y el seno del ángulo opuesto forman una razón constante:
a ÷ sen A = b ÷ sen B = c ÷ sen C
La notación es la de siempre: el lado a es el que está frente al ángulo A, el lado b frente a B y el lado c frente a C. Esa correspondencia es lo que hace funcionar todo, así que rotular bien el dibujo es la mitad del trabajo.
De dónde sale: una altura, dos triángulos rectángulos
No hay que aceptar la proporción como un regalo. Se deduce en tres renglones.
Tomá un triángulo ABC y bajá la altura h desde el vértice C hasta el lado AB. Esa altura parte el triángulo en dos triángulos rectángulos, y en cada uno vale la definición del seno como cateto opuesto entre hipotenusa.
En el triángulo de la izquierda, el ángulo es A y la hipotenusa es b, así que sen A = h ÷ b, de donde h = b · sen A.
En el de la derecha, el ángulo es B y la hipotenusa es a, así que sen B = h ÷ a, de donde h = a · sen B.
La altura es una sola, así que las dos expresiones son iguales:
b · sen A = a · sen B
Dividiendo ambos lados entre sen A · sen B queda b ÷ sen B = a ÷ sen A. Bajando la altura desde otro vértice sale la tercera igualdad.
La ley de senos es la misma altura contada de dos maneras. Por eso es cierta en cualquier triángulo: la altura siempre existe.
Cuándo se usa y cuándo no
La proporción tiene cuatro piezas en juego: dos lados y dos ángulos, cruzados. Para despejar una, hay que conocer las otras tres. De ahí sale el criterio:
La ley de senos sirve cuando los datos incluyen al menos un par lado–ángulo opuesto completo.
Eso pasa en dos situaciones. Con dos ángulos y un lado: el tercer ángulo sale por la suma 180°, y ya tenés el par. Y con dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
Si te dan dos lados y el ángulo entre ellos, o los tres lados, no hay par opuesto conocido: la proporción queda con dos incógnitas. Esos casos piden la ley de cosenos.
| Datos conocidos | ¿Hay par opuesto? | Ley de senos |
|---|---|---|
| Dos ángulos y un lado | sí, tras hallar el tercer ángulo | sirve |
| Dos lados y ángulo opuesto a uno | sí | sirve |
| Dos lados y el ángulo entre ellos | no | no sirve |
El detalle del ángulo obtuso
Hay una trampa al despejar un ángulo. La calculadora, con la operación inversa del seno, devuelve siempre un ángulo agudo. Pero dos ángulos suplementarios tienen el mismo seno: sen 40° y sen 140° valen lo mismo.
Entonces, si el triángulo dibujado se ve claramente obtuso, hay que tomar el suplemento: 180° menos lo que dio la calculadora. La comprobación es la de siempre: los tres ángulos suman 180°. Si con el valor obtuso la suma se pasa, el correcto era el agudo.
Ejemplos resueltos
1. En un triángulo, A = 40°, B = 75° y el lado a = 12 cm. Hallá el lado b. Tenemos el par completo a con A. Planteamos b ÷ sen B = a ÷ sen A, o sea b = a · sen B ÷ sen A. b = 12 · sen 75° ÷ sen 40° = 12 · 0,9659 ÷ 0,6428 = 11,591 ÷ 0,6428 ≈ 18,0 cm. Comprobación de sentido: B es mayor que A, y en todo triángulo a mayor ángulo se opone mayor lado. Como 18 es mayor que 12, el resultado es coherente.
2. Mismo triángulo. Hallá el lado c. Primero el ángulo C: 180° − 40° − 75° = 65°. c = a · sen C ÷ sen A = 12 · sen 65° ÷ sen 40° = 12 · 0,9063 ÷ 0,6428 ≈ 16,9 cm. De nuevo el control: C está entre A y B en tamaño, y c (16,9) quedó entre a (12) y b (18,0).
3. Dos observadores están a 500 m uno del otro. El primero ve la cima de un cerro con 32° respecto a la línea que los une; el segundo, con 48°. ¿A qué distancia está la cima del primero? El ángulo de la cima es 180° − 32° − 48° = 100°, y el lado de 500 m es su opuesto: ahí está el par completo. La distancia buscada es el lado opuesto a 48°: d = 500 · sen 48° ÷ sen 100° = 371,57 ÷ 0,9848 ≈ 377 m.
4. En un triángulo, a = 9, b = 14 y A = 30°. Hallá el ángulo B. sen B = b · sen A ÷ a = 14 · 0,5 ÷ 9 = 7 ÷ 9 ≈ 0,7778. La calculadora devuelve B ≈ 51,1°. El suplemento sería 128,9°, y también cumple la proporción: 30° + 128,9° = 158,9°, que aún deja lugar para un tercer ángulo. Los dos triángulos existen. Este es el caso en que hay que revisar el dibujo o los datos del problema para decidir cuál corresponde.
5. Te dan b = 7, c = 10 y el ángulo A = 55°. ¿Se resuelve con ley de senos? No. El ángulo conocido está entre los dos lados conocidos, así que no hay ningún lado con su ángulo opuesto conocido. Cualquier proporción que armés tiene dos incógnitas. Este caso necesita la ley de cosenos.
Los errores que más se cobran
- Emparejar un lado con un ángulo que no le es opuesto. La deducción con la altura exige que el ángulo esté enfrente del lado; si los cruzás, la igualdad ya no viene de la misma altura y no vale.
- Usar la ley de senos con dos lados y el ángulo entre ellos. Ahí no existe par opuesto conocido y la proporción no se puede despejar: queda una ecuación con dos incógnitas.
- Tener la calculadora en radianes. Si sen 40° devuelve un número raro, revisá el modo. Es la causa más común de resultados sin sentido.
- Aceptar sin más el ángulo agudo que da la calculadora. El seno no distingue entre un ángulo y su suplemento. Hay que contrastar con el dibujo y con la suma 180°.
- Redondear los senos a dos decimales y seguir. Un seno truncado a 0,64 en vez de 0,6428 mueve el resultado varios centímetros, porque va en el denominador. Se redondea al final.
- No revisar la coherencia entre lados y ángulos. A mayor ángulo, mayor lado opuesto, siempre. Si te sale el lado más grande frente al ángulo más chico, hay un error antes.
Clave de análisis
La ley de senos no se guarda como fórmula suelta: se rearma bajando una altura. Esa altura es cateto opuesto en dos triángulos rectángulos a la vez, así que se puede escribir de dos maneras —una con cada ángulo y su hipotenusa— y como es una sola altura, ambas expresiones se igualan. De esa igualdad sale la proporción entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto, y de la construcción sale también la condición de uso: los términos se emparejan lado con ángulo opuesto, nunca de otra forma.
Para decidir si aplica, contá lo que sabés dentro de la proporción: son cuatro piezas cruzadas y necesitás tres para despejar la cuarta, así que hace falta un par lado–ángulo opuesto completo. Al terminar, dos controles que no fallan: los ángulos suman 180° y el lado mayor se opone al ángulo mayor.