Ordenar y comparar números reales en la recta

Al terminar vas a poder ubicar cualquier número real en la recta, explicar por qué con los negativos el orden se invierte respecto a lo que dice la intuición, y comparar fracciones, decimales y raíces sin recurrir a la calculadora.

La recta numérica es la definición del orden

Los números reales incluyen a todos: enteros, fracciones, decimales e irracionales como √2 y π. Lo que los une es que cada uno ocupa un punto de la recta, y cada punto de la recta es un número real. No quedan huecos.

De ahí sale la regla que gobierna todas las comparaciones:

Un número es menor que otro si está a su izquierda en la recta. Nada más. Todas las reglas de comparación que vas a ver son atajos para no tener que dibujar.

Para leer la recta hacen falta tres cosas: un origen donde va el cero, una unidad que fija la escala, y un sentido, que por convención va creciendo hacia la derecha.

Por qué los negativos parecen invertidos

Comparar 3 y 7 es fácil. Comparar −3 y −7 confunde a mucha gente, que responde que −7 es mayor «porque 7 es más grande que 3».

Volvamos a la recta. Los negativos están a la izquierda del cero, y mientras más grande es el número que va después del signo, más lejos hacia la izquierda queda el punto. El −7 está más a la izquierda que el −3, así que −7 es menor que −3.

Sin recta: pensá en deudas. Deber 7 000 colones es estar peor que deber 3 000. La deuda mayor es la posición peor, o sea el número menor.

De ahí se desprende algo clave: el valor absoluto no es el orden. El valor absoluto es la distancia al cero, sin signo, y la distancia no distingue lados. Por eso |−7| = 7 es mayor que |−3| = 3, aunque −7 sea menor que −3.

Comparar decimales: cifra por cifra, desde la izquierda

Con dos decimales positivos, se comparan primero las partes enteras. Si son iguales, se avanza décima por décima, centésima por centésima, hasta encontrar la primera diferencia.

Comparemos 3,42 y 3,4199. Los enteros empatan en 3. Las décimas empatan en 4. Las centésimas: 2 contra 1. Ahí se decide: 3,42 es mayor, aunque tenga menos cifras.

Ese es el error clásico: creer que «más cifras es más grande». La cantidad de cifras no dice nada; lo que manda es el valor posicional, porque una centésima vale más que cualquier cantidad de milésimas que venga después.

Truco para no perderse: igualá la cantidad de decimales agregando ceros. 3,42 se escribe 3,4200, y comparado con 3,4199 la diferencia salta a la vista.

Comparar fracciones: tres caminos, uno según el caso

Con el mismo denominador, manda el numerador: 5/8 es mayor que 3/8, porque son partes del mismo tamaño y hay más.

Con el mismo numerador, manda el denominador al revés: 3/5 es mayor que 3/8, porque partir en 5 pedazos da pedazos más grandes que partir en 8. Más denominador, pedazos más chicos.

Si no coincide ninguno, hay dos salidas. Llevarlas a denominador común, o la multiplicación cruzada: para comparar 5/7 y 7/10, hacés 5 · 10 = 50 y 7 · 7 = 49; como 50 es mayor, 5/7 es mayor. Funciona porque equivale a llevar ambas al denominador 70 y comparar 50/70 con 49/70, sin escribir el denominador. Vale así con denominadores positivos.

Ubicar irracionales sin calculadora

Un irracional como √2 no tiene expresión decimal exacta, pero sí se ubica: se atrapa entre dos enteros.

Como 1² = 1 y 2² = 4, y el 2 está entre 1 y 4, entonces √2 está entre 1 y 2. Para afinar: 1,4² = 1,96 y 1,5² = 2,25, así que √2 está entre 1,4 y 1,5, más cerca de 1,4.

Lo mismo con √20: entre 4² = 16 y 5² = 25 está el 20, así que √20 está entre 4 y 5. Y π ≈ 3,14 se ubica entre 3 y 4.

Elevar al cuadrado los candidatos es el método, y sirve siempre, porque entre números positivos la raíz conserva el orden: si un número es mayor, su raíz también.

Ejemplos resueltos

1. Ordená de menor a mayor: −2,5; 3/4; −1/2; 0; 1,25. Primero separamos por signo, que es lo que más rápido ordena: los negativos van a la izquierda del cero y los positivos a la derecha. Negativos: −2,5 y −1/2 = −0,5. El más alejado del cero hacia la izquierda es −2,5, así que −2,5 < −0,5. Positivos: 3/4 = 0,75 y 1,25. Orden final: −2,5 < −1/2 < 0 < 3/4 < 1,25.

2. ¿Cuál es mayor, 7/9 o 4/5? Multiplicación cruzada: 7 · 5 = 35 y 9 · 4 = 36. Como 36 corresponde a 4/5 y es mayor, 4/5 es mayor. Comprobación con denominador común 45: 7/9 = 35/45 y 4/5 = 36/45. Coincide.

3. Ubicá √11 entre dos enteros consecutivos y decidí si es mayor o menor que 3,3. 3² = 9 y 4² = 16, y 11 está entre ellos, así que √11 está entre 3 y 4. Para lo segundo: 3,3² = 10,89, que es menor que 11. Entonces √11 es mayor que 3,3. Afinando: 3,4² = 11,56, mayor que 11, así que √11 está entre 3,3 y 3,4.

4. ¿Es cierto que −0,7 es mayor que −0,07? No. Ambos son negativos, así que el que está más lejos del cero es el menor. |−0,7| = 0,7 y |−0,07| = 0,07, así que −0,7 está más a la izquierda: −0,7 es menor que −0,07. La respuesta correcta es −0,07 > −0,7.

5. Comparar 0,999 con 1. Parte entera: 0 contra 1. Ahí ya se decide, sin mirar los decimales: 0,999 es menor que 1. Ninguna cantidad de nueves en los decimales alcanza al entero siguiente si la parte entera es menor. Lo que sí es cierto es que están muy cerca: los separa 0,001.

Los errores que más se cobran

1. Ordenar negativos como si fueran positivos. El signo invierte la posición en la recta: mientras mayor es la cifra, más a la izquierda queda el punto, y más a la izquierda significa menor.
2. Confundir valor absoluto con orden. El valor absoluto mide distancia al cero e ignora el lado. Dos números pueden tener el mismo valor absoluto y estar en extremos opuestos del orden.
3. Creer que más cifras decimales es más valor. 3,4199 tiene más cifras que 3,42 y es menor. Lo que manda es el valor posicional, comparando de izquierda a derecha.
4. Comparar fracciones solo por el denominador o solo por el numerador. Ese atajo funciona únicamente cuando el otro término coincide. Si no, hay que cruzar o igualar denominadores.
5. Invertir la lectura de la multiplicación cruzada. El producto obtenido corresponde a la fracción cuyo numerador se usó. Anotá al lado de cuál fracción quedó cada producto antes de concluir.
6. Tratar los irracionales como si no se pudieran ubicar. √11 no tiene decimal exacto, pero sí posición: se encierra entre cuadrados perfectos y se afina elevando al cuadrado los candidatos.

Clave de análisis

Todo el tema cuelga de una sola idea: comparar es preguntar quién está más a la izquierda en la recta. Los atajos existen para no dibujar, pero cualquiera de ellos se puede verificar volviendo a la recta. Por eso el primer paso de cualquier ordenamiento es separar por signo: los negativos ocupan todo el lado izquierdo y los positivos todo el derecho, así que cualquier negativo es menor que cualquier positivo sin necesidad de calcular nada.

Dentro de cada lado, el criterio es la distancia al cero, leída según el lado. A la derecha, más distancia es más valor; a la izquierda, más distancia es menos valor. Con eso se explican de una vez los negativos y la diferencia entre orden y valor absoluto. Y para los números sin decimal exacto, el procedimiento es el mismo con otra herramienta: se los encierra entre dos valores conocidos elevando al cuadrado, porque entre positivos el cuadrado respeta el orden.