Racionalizar denominadores con raíces

Al terminar vas a poder racionalizar un denominador con raíz simple o con binomio, explicar por qué multiplicar por el conjugado hace desaparecer la raíz, y reconocer cuándo racionalizar cambia la forma pero nunca el valor.

Qué significa racionalizar y por qué se hace

Racionalizar el denominador es transformar una expresión para que abajo no quede ninguna raíz, sin cambiar su valor.

Por ejemplo, 1 ÷ √2 se convierte en √2 ÷ 2. Las dos expresiones valen lo mismo —aproximadamente 0,7071—, pero la segunda tiene el denominador racional.

¿Para qué sirve? Por tres motivos concretos.

Para comparar y operar. Si tenés que sumar 1 ÷ √2 con 3 ÷ 2, es mucho más fácil si la primera ya está escrita con denominador 2.

Para calcular a mano. Dividir 1 entre 1,41421… es incómodo; dividir 1,41421… entre 2 es trivial. Antes de las calculadoras esta era la razón principal, y sigue siendo válida para verificar de cabeza.

Porque es la forma convencional de presentar el resultado, y en las pruebas suele exigirse.

Racionalizar no cambia el valor: cambia la forma. Es la misma cantidad escrita de otra manera, igual que 1/2 y 0,5.

El caso simple: una sola raíz abajo

Si el denominador es √a, multiplicás arriba y abajo por √a.

¿Por qué se puede multiplicar arriba y abajo? Porque √a ÷ √a vale 1, y multiplicar por 1 no cambia nada. Ese es el permiso, y es el mismo que se usa para amplificar fracciones numéricas.

¿Y por qué funciona? Porque √a · √a = a. La raíz cuadrada es, por definición, el número que multiplicado por sí mismo da el radicando. Así que la raíz desaparece sola.

5 ÷ √3 = (5 · √3) ÷ (√3 · √3) = 5√3 ÷ 3

Si el denominador tiene un coeficiente, como 2√5, solo se multiplica por la raíz: el 2 no estorba porque ya es racional.

3 ÷ (2√5) = (3√5) ÷ (2 · 5) = 3√5 ÷ 10

El caso del binomio: por qué sirve el conjugado

Ahora el denominador es algo como 3 + √2. Si multiplicás arriba y abajo por √2, abajo queda 3√2 + 2, que sigue teniendo raíz. No sirve.

La solución viene de un producto notable que ya conocés: (a + b)(a − b) = a² − b². Al multiplicar una suma por su diferencia, los términos cruzados se cancelan y quedan solo los cuadrados. Y elevar al cuadrado es exactamente lo que elimina una raíz cuadrada.

Se llama conjugado de a + √b a la expresión a − √b: el mismo binomio con el signo del medio cambiado.

Entonces, para 1 ÷ (3 + √2) multiplicamos arriba y abajo por 3 − √2:

Denominador: (3 + √2)(3 − √2) = 3² − (√2)² = 9 − 2 = 7

Numerador: 1 · (3 − √2) = 3 − √2

Resultado: (3 − √2) ÷ 7

El conjugado funciona porque la suma por la diferencia produce una resta de cuadrados, y el cuadrado de una raíz es el radicando. No hay ningún truco adicional.

Cuando los dos términos tienen raíz, como √7 − √3, el conjugado es √7 + √3 y el producto da 7 − 3 = 4. Mismo argumento.

Un aviso sobre signos

El conjugado cambia el signo del medio, no el de los términos. El conjugado de 5 − √3 es 5 + √3. El de −2 + √6 es −2 − √6.

Y hay que revisar que el denominador no dé cero: (√5 − √5) no sirve como denominador. En la práctica escolar esto casi nunca pasa, pero conviene tenerlo presente.

Ejemplos resueltos

1. Racionalizá 7 ÷ √5. Multiplicamos arriba y abajo por √5: (7 · √5) ÷ (√5 · √5) = 7√5 ÷ 5. Resultado: 7√5 ÷ 5. Comprobación numérica: √5 ≈ 2,2361, así que 7 ÷ 2,2361 ≈ 3,1305, y 7 · 2,2361 ÷ 5 ≈ 3,1305. Coinciden.

2. Racionalizá 6 ÷ √12. Conviene simplificar la raíz primero: √12 = √(4 · 3) = 2√3. Entonces 6 ÷ (2√3) = 3 ÷ √3, y multiplicando por √3 arriba y abajo: 3√3 ÷ 3 = √3. Si se racionaliza sin simplificar primero se llega al mismo lugar, pero con números más grandes. Simplificar el radical antes ahorra trabajo.

3. Racionalizá 4 ÷ (5 − √3). Conjugado: 5 + √3. Denominador: (5 − √3)(5 + √3) = 25 − 3 = 22. Numerador: 4(5 + √3) = 20 + 4√3. Resultado: (20 + 4√3) ÷ 22, que se simplifica dividiendo todo entre 2: (10 + 2√3) ÷ 11.

4. Racionalizá (√5 + 1) ÷ (√5 − 1). Conjugado: √5 + 1. Denominador: (√5 − 1)(√5 + 1) = 5 − 1 = 4. Numerador: (√5 + 1)(√5 + 1) = (√5)² + 2√5 + 1 = 5 + 2√5 + 1 = 6 + 2√5. Resultado: (6 + 2√5) ÷ 4 = (3 + √5) ÷ 2. Fijate que el numerador es un binomio al cuadrado y hay que desarrollarlo completo: escribir solo 5 + 1 pierde el término del medio.

5. Un estudiante racionaliza 2 ÷ (1 + √3) multiplicando arriba y abajo por √3. ¿Qué obtiene y por qué no sirve? Obtiene (2√3) ÷ (√3 + 3), que sigue con raíz abajo. El problema es que multiplicar por √3 distribuye sobre los dos términos del binomio y no cancela nada. Lo correcto es el conjugado 1 − √3: Denominador: (1 + √3)(1 − √3) = 1 − 3 = −2. Numerador: 2(1 − √3) = 2 − 2√3. Resultado: (2 − 2√3) ÷ (−2) = −1 + √3, o sea √3 − 1. Ojo con el denominador negativo: hay que repartir el signo, no dejarlo abajo.

Los errores que más se cobran

1. Multiplicar solo el denominador. Si multiplicás abajo y no arriba, cambiás el valor de la expresión. El permiso para operar viene de que el factor sobre sí mismo vale 1, y eso exige aplicarlo a los dos lados de la fracción.
2. Usar la raíz suelta en vez del conjugado cuando abajo hay un binomio. La raíz se distribuye sobre los dos términos y la raíz sobrevive. Solo la suma por la diferencia cancela los términos cruzados.
3. Cambiar mal el signo del conjugado. Se cambia el signo que está entre los dos términos, no el de cada uno. El conjugado de 5 − √3 es 5 + √3.
4. No desarrollar el numerador completo. (√5 + 1)² no es 5 + 1: hay un doble producto en el medio. Aplicar el producto notable completo es obligatorio.
5. Olvidar simplificar al final. (20 + 4√3) ÷ 22 está correcto pero sin terminar. Hay que dividir entre el factor común, y el 2 divide a los tres números.
6. Dejar un denominador negativo. Si queda −2 abajo, se reparte el signo al numerador. Un resultado bien racionalizado se presenta con denominador positivo.

Clave de análisis

Todo se sostiene en dos hechos que ya conocés y en un permiso. El permiso: multiplicar arriba y abajo por la misma expresión no cambia el valor, porque equivale a multiplicar por 1. Los dos hechos: la raíz cuadrada de un número, multiplicada por sí misma, devuelve el número, y una suma multiplicada por su diferencia da la resta de los cuadrados.

Con eso se decide solo el método. Si abajo hay una sola raíz, multiplicás por esa misma raíz y el primer hecho la borra. Si abajo hay un binomio con raíz, multiplicás por el conjugado y el segundo hecho lo convierte en una resta de cuadrados, donde cada raíz al cuadrado se vuelve su radicando. En ambos casos lo que se busca es lo mismo: llevar la raíz a un cuadrado, porque el cuadrado es la única operación que la deshace.

Y para verificar sin dudar, aprovechá que el valor no cambia: calculá con decimales la expresión original y la racionalizada. Si no dan lo mismo, en algún paso se multiplicó de un solo lado o se perdió un término del producto notable.