Azar y experimentos aleatorios en la vida diaria

Al terminar vas a poder distinguir un experimento aleatorio de uno determinista, escribir el espacio muestral de una situación y contar sus elementos sin olvidar ninguno, y explicar por qué un suceso seguro y uno imposible son los extremos de una misma escala.

Hay cosas que se pueden predecir y cosas que no

Si soltás una piedra, cae. Si calentás agua al nivel del mar hasta 100 °C, hierve. Repetís mil veces y pasa lo mismo. Son experimentos deterministas: conocidas las condiciones, el resultado está decidido.

Ahora tirá un dado. Sabés todo lo que hay que saber del dado y aun así no podés decir qué número va a salir. Repetís y sale otro. Eso es un experimento aleatorio.

Un experimento es aleatorio cuando cumple tres condiciones a la vez, y las tres importan:

1. Se puede repetir en las mismas condiciones.
2. Se conocen de antemano todos los resultados posibles.
3. No se puede predecir cuál va a salir en una repetición concreta.

Fijate en la segunda: el azar no es desorden total. Al tirar un dado sabemos que va a salir algo entre 1 y 6; lo que no sabemos es cuál.

El azar es incertidumbre dentro de un conjunto conocido. Por eso se puede estudiar con matemática: porque el conjunto de resultados sí se puede escribir.

El espacio muestral: escribir todo lo que puede pasar

El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se llama espacio muestral y se anota con la letra S. Cada resultado individual es un punto muestral.

• Tirar una moneda: S = {escudo, corona}. Tiene 2 elementos.
• Tirar un dado: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Tiene 6 elementos.
• Sacar una bola de una bolsa con 3 rojas y 2 azules, mirando el color: S = {roja, azul}. Tiene 2 elementos.

Un suceso o evento es cualquier parte del espacio muestral: un subconjunto. «Sacar par» en el dado es el suceso {2, 4, 6}. «Sacar mayor que 4» es {5, 6}.

Como un suceso es un subconjunto, hay dos casos extremos que no son rarezas sino los bordes de la escala:

• El suceso seguro es el espacio muestral completo: ocurre siempre. «Sacar un número menor que 7» en un dado.
• El suceso imposible es el conjunto vacío: no ocurre nunca. «Sacar un 9» en un dado.

Todo lo demás queda en medio, y ahí es donde la probabilidad tiene algo que decir.

Contar sin olvidar nada: el experimento en dos etapas

Cuando el experimento tiene dos etapas —dos monedas, dos dados, una moneda y un dado— el espacio muestral se arma combinando, y hay que ser ordenado o se pierden casos.

Con dos monedas, la lista ordenada es S = {EE, EC, CE, CC}: 4 resultados, no 3. Mucha gente escribe solo tres porque junta «una escudo y una corona» en un caso, pero EC y CE son distintos: en el primero la primera moneda cayó escudo y en el segundo cayó corona.

La cuenta general es el principio de multiplicación: si la primera etapa tiene m resultados y la segunda n, juntas tienen m · n. Con dos dados, 6 · 6 = 36; con una moneda y un dado, 2 · 6 = 12.

Y no es una regla que haya que aceptar: por cada uno de los m resultados de la primera etapa se abre la lista completa de los n de la segunda, así que la lista total tiene m grupos de n.

Cuándo los resultados son igualmente probables

Un dado común tiene seis caras iguales, así que ninguna tiene ventaja: los seis resultados son equiprobables. Lo mismo una moneda bien hecha.

Pero no todo experimento aleatorio es así. En la bolsa con 3 bolas rojas y 2 azules, el espacio muestral por color tiene dos elementos y no son igual de probables. Que tenga dos elementos no significa que cada uno valga la mitad, y suponer equiprobabilidad donde no la hay es de los errores más caros del tema.

Ejemplos resueltos

1. Clasificá: ¿es aleatorio o determinista sacar el promedio de tres notas ya conocidas? Determinista. Con las tres notas dadas, el promedio es un número fijo: repetís la cuenta mil veces y da lo mismo. No hay incertidumbre.

2. Escribí el espacio muestral de tirar un dado y anotar si el número es par o impar. S = {par, impar}, con 2 elementos. Fijate que el experimento físico tiene 6 resultados, pero lo que se observa son solo dos categorías. El espacio muestral depende de qué se está anotando. Aquí los dos sí son equiprobables, porque hay tres pares (2, 4, 6) y tres impares (1, 3, 5).

3. ¿Cuántos resultados tiene el experimento de tirar una moneda y un dado a la vez? Por el principio de multiplicación: 2 · 6 = 12. Se pueden escribir para comprobar: E1, E2, E3, E4, E5, E6, C1, C2, C3, C4, C5, C6. Son doce.

4. En una rifa hay 200 números vendidos. Clasificá «salir un número entre 1 y 200» y «salir el número 350». El primero es el espacio muestral completo: suceso seguro. El segundo no está en el espacio muestral: suceso imposible.

5. En una bolsa hay 4 papelitos con «sí» y 1 con «no». ¿El espacio muestral tiene resultados equiprobables? El espacio muestral es S = {sí, no}, con dos elementos, pero no son equiprobables: hay cuatro papelitos que dan «sí» y solo uno que da «no». Contar elementos del espacio muestral no es lo mismo que medir sus probabilidades.

Los errores que más se cobran

1. Creer que aleatorio significa impredecible del todo. En un experimento aleatorio los resultados posibles sí se conocen; lo que no se conoce es cuál va a salir esta vez.
2. Olvidar un resultado al escribir el espacio muestral. Con dos monedas se escriben tres casos en vez de cuatro. El orden importa: EC y CE son resultados distintos.
3. Confundir el suceso con el espacio muestral. El espacio muestral es todo lo que puede pasar; el suceso es una parte. «Sacar par» no es el espacio muestral del dado, es un subconjunto suyo.
4. Suponer que todos los resultados son igual de probables. Vale para un dado o una moneda bien hechos, no para una bolsa con distinta cantidad de bolas de cada color.
5. Sumar en vez de multiplicar en dos etapas. Con dos dados no hay 6 + 6 = 12 resultados, hay 6 · 6 = 36, porque por cada cara del primero se abren las seis del segundo.
6. Llamar imposible a lo que es solo poco probable. Sacar seis veces seguidas un 6 es raro, no imposible. Imposible es lo que no está en el espacio muestral.

Clave de análisis

Todo este tema se sostiene en una distinción y un conjunto.

La distinción es entre determinista y aleatorio, y se decide con una sola pregunta: si repito el experimento en las mismas condiciones, ¿sale siempre lo mismo? Si sí, es determinista. Si no, y aun así puedo listar de antemano lo que podría salir, es aleatorio. Esa segunda parte es la que hace posible estudiarlo.

El conjunto es el espacio muestral. Escribirlo bien resuelve la mitad del tema y escribirlo mal arruina lo que se calcule encima. Hay dos cuidados: fijar qué se está observando —no es lo mismo anotar el número del dado que si es par— y, cuando hay etapas, multiplicar las posibilidades, porque por cada resultado de la primera se abre la lista completa de la segunda.

Con el espacio muestral escrito, los sucesos se ubican solos: el seguro es el conjunto entero, el imposible es el vacío, y todos los demás son pedazos intermedios. Esa imagen —el suceso como parte del todo— es la que hace que después la probabilidad se entienda como una comparación entre el pedazo y el conjunto completo.