Relaciones y álgebra
Expresiones algebraicas: monomios, binomios y valor numérico
Al terminar vas a poder nombrar una expresión algebraica según cuántos términos tiene, reconocer términos semejantes y reducirlos con su razón, y calcular el valor numérico de una expresión respetando la jerarquía y los signos.
Una letra guarda el lugar de un número
En aritmética todo está escrito con números: 5 + 3 = 8. En álgebra aparecen letras, y no es para complicar: es para escribir una regla que sirve para todos los casos a la vez.
Si un cuaderno cuesta 1 500 colones, el precio de x cuadernos es 1 500x: una sola línea reemplaza infinitas cuentas.
Una expresión algebraica combina números, letras y operaciones. Las letras se llaman variables porque pueden tomar distintos valores; los números que las acompañan multiplicando se llaman coeficientes.
En el término −7x²y hay tres partes que conviene separar desde ya:
- Coeficiente: −7, el número con su signo.
- Parte literal: x²y, las letras con sus exponentes.
- Grado del término: la suma de los exponentes de las letras, o sea 2 + 1 = 3.
Un término es un bloque donde solo hay multiplicaciones y divisiones. Los términos se separan entre sí por signos de más o de menos.
Contar términos es contar los bloques separados por + o −. De ese conteo sale el nombre de la expresión, y por eso el nombre no hay que aprenderlo aparte.
Los nombres salen de contar términos
| Términos | Nombre | Ejemplo |
|---|---|---|
| 1 | Monomio | 5x³ |
| 2 | Binomio | 3x + 7 |
| 3 | Trinomio | x² − 4x + 4 |
| 4 o más | Polinomio | 2x³ + x² − 5x + 1 |
Los prefijos dicen el número: mono es uno, bi es dos, tri es tres, poli es varios. Con eso la tabla se rearma sola.
Cuidado: en 3x + 7 el segundo término es un número solo. Se llama término independiente y cuenta como término. Y el signo que va delante pertenece al término: en x² − 4x + 4, el segundo es −4x.
El grado de la expresión es el grado más alto entre sus términos. En 2x³ + x² − 5x + 1, los grados son 3, 2, 1 y 0, así que la expresión es de grado 3.
Términos semejantes: por qué unos se suman y otros no
Dos términos son semejantes cuando tienen exactamente la misma parte literal: las mismas letras con los mismos exponentes. El coeficiente puede ser distinto.
- 5x y −3x son semejantes.
- 4x² y 4x no lo son, porque el exponente cambia.
- 7ab y 2ba sí lo son, porque el orden de los factores no cambia el producto.
Solo los términos semejantes se pueden sumar o restar, y la razón no tiene nada de misteriosa: es la propiedad distributiva. 5x − 3x es (5 − 3)x = 2x, igual que 5 mangos menos 3 mangos son 2 mangos.
En cambio 4x² + 3x no se puede juntar en un solo término, porque x² y x son cosas distintas: no hay un factor común que sacar. Es como querer sumar 4 cajas con 3 botellas y escribirlo como un solo número.
Al reducir términos semejantes se suman los coeficientes con sus signos y la parte literal no se toca. En 8x² − 5x² queda (8 − 5)x² = 3x², no 3x⁴: los exponentes no se suman en una resta.
El valor numérico: sustituir y calcular
El valor numérico de una expresión es el número que da cuando se reemplaza cada letra por un valor dado.
El procedimiento tiene tres pasos y el segundo es el que salva del error de signo:
- Escribí la expresión.
- Sustituí cada letra por su valor entre paréntesis. Siempre entre paréntesis.
- Resolvé respetando la jerarquía de operaciones.
Los paréntesis del paso 2 no son un adorno. Si x = −4 y la expresión es x², escribir sin paréntesis da −4², que es −16; escribir (−4)² da 16, que es lo correcto, porque el que se eleva es el −4 completo.
Ejemplos resueltos
1. Clasificá 6a²b − 3ab + b y decí su grado. Los términos separados por + o − son tres: 6a²b, −3ab y b. Es un trinomio. Grados: 2 + 1 = 3; 1 + 1 = 2; 1. El mayor es 3, así que la expresión es de grado 3.
2. Reducí 7x + 3y − 2x + 5y − x. Agrupo semejantes. Con x: 7 − 2 − 1 = 4, o sea 4x. Con y: 3 + 5 = 8, o sea 8y. Resultado: 4x + 8y. No se puede reducir más, porque x e y no son semejantes. Comprobación con x = 1 e y = 1: la expresión original da 7 + 3 − 2 + 5 − 1 = 12, y 4 + 8 = 12. Coincide.
3. Calculá el valor numérico de 3x² − 5x + 2 para x = −2. Sustituyo con paréntesis: 3(−2)² − 5(−2) + 2. Potencia primero: (−2)² = 4, así que 3 · 4 = 12. Producto: −5(−2) = +10, porque los signos son distintos en la resta de un negativo. Suma final: 12 + 10 + 2 = 24.
4. Calculá el valor de 2ab − a² para a = 3 y b = −4. Sustituyo: 2(3)(−4) − (3)². Primer término: 2 · 3 = 6; 6 · (−4) = −24. Segundo: (3)² = 9, y va restando: −9. Total: −24 − 9 = −33.
5. Un taxi cobra 700 de banderazo más 500 por kilómetro. Escribí la expresión del precio y calculá el de un viaje de 12 km. Expresión: 500k + 700, un binomio de grado 1, donde k es la cantidad de kilómetros. Para k = 12: 500(12) + 700 = 6 000 + 700 = 6 700 colones. Comprobación hacia atrás: 6 700 − 700 = 6 000, y 6 000 ÷ 500 = 12 km.
Los errores que más se cobran
- Sumar términos que no son semejantes. 3x + 4x² no es 7x³ ni 7x. Solo se juntan los que tienen la misma parte literal, porque solo entonces hay un factor común que sacar.
- Sumar los exponentes al reducir. En 8x² − 5x² se restan los coeficientes y la parte literal queda igual: 3x². Los exponentes se suman al multiplicar, no al sumar.
- Dejar la letra por fuera del signo. En x² − 4x + 4 el segundo término es −4x. Si se lee como +4x, la expresión cambia por completo.
- Sustituir sin paréntesis. Con x = −3, escribir −3² da −9 cuando debía dar 9. El paréntesis es lo que dice que el negativo entra a la potencia.
- Creer que el coeficiente 1 no está. En x + y los coeficientes son 1 y 1. Al reducir 7x − x quedan 6x, no 7x: la x suelta vale 1x.
- Confundir el grado del término con el grado de la expresión. El del término es la suma de exponentes de ese término; el de la expresión es el mayor de todos.
Clave de análisis
Toda esta lección se rearma con dos conteos y una comparación.
El primer conteo es de términos: son los bloques separados por + o −, con el signo incluido. Contarlos da el nombre de la expresión, y por eso monomio, binomio, trinomio y polinomio no son cuatro definiciones sino un solo criterio aplicado cuatro veces. El segundo conteo es de exponentes: sumarlos dentro de un término da el grado del término, y el mayor de esos grados da el grado de la expresión.
La comparación es la de términos semejantes, y decide qué se puede juntar. Dos términos se suman solo si tienen la misma parte literal, y la razón es la propiedad distributiva: si el factor literal es el mismo, se saca como factor común y quedan los coeficientes sumándose. Si la parte literal es distinta, no hay factor común y la expresión se queda como está. Esa misma razón explica por qué los exponentes no se tocan: lo que se sumó fueron los coeficientes, no las letras.
Y para el valor numérico, lo único que hace falta es disciplina: cada letra se reemplaza entre paréntesis y después se aplica la jerarquía de siempre. El paréntesis es lo que protege el signo, y el signo perdido es lo que más puntos cuesta en este tema.