Proporcionalidad directa e inversa con ejemplos
Al terminar vas a poder reconocer en una tabla o en un gráfico si hay proporcionalidad y de qué tipo, hallar la constante y usarla para completar cualquier valor, y resolver repartos proporcionales sin tantear.
La constante es lo que de verdad hay que encontrar
En una relación proporcional hay un número que no cambia nunca: la constante de proporcionalidad, que se anota k. Encontrarla es resolver el problema, porque con k se completa cualquier fila de la tabla.
Lo que cambia según el tipo de proporcionalidad es dónde vive esa constante.
En la directa, k es el cociente: y ÷ x da siempre lo mismo, así que y = k · x. En la inversa, k es el producto: x · y da siempre lo mismo, así que x · y = k.
Para identificar el tipo, no hay que interpretar el enunciado: hay que probar con los números. Dividí y mirá si repite; multiplicá y mirá si repite. La operación que repita nombra el tipo y entrega la constante de una vez.
Reconocer el tipo en una tabla
Mirá esta tabla de una pulpería que vende arroz a granel:
| Kilos (x) | 2 | 5 | 8 | 12 |
|---|---|---|---|---|
| Precio (y) | 1 600 | 4 000 | 6 400 | 9 600 |
Pruebo el cociente: 1 600 ÷ 2 = 800; 4 000 ÷ 5 = 800; 6 400 ÷ 8 = 800; 9 600 ÷ 12 = 800. Siempre 800, que es el precio por kilo.
Es directa, con k = 800, y la regla es y = 800x. Para 20 kilos: 800 × 20 = 16 000 colones.
Ahora esta otra, de una obra de la municipalidad:
| Cuadrillas (x) | 2 | 3 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| Días (y) | 36 | 24 | 18 | 12 |
El cociente no sirve: 36 ÷ 2 = 18, pero 24 ÷ 3 = 8. Pruebo el producto: 2 × 36 = 72; 3 × 24 = 72; 4 × 18 = 72; 6 × 12 = 72. Siempre 72.
Es inversa, con k = 72, que son las «cuadrillas-día» que cuesta la obra. Para 8 cuadrillas: 72 ÷ 8 = 9 días.
Reconocer el tipo en un gráfico
Una relación directa se dibuja como una línea recta que pasa por el origen: pasa por el origen porque si x vale 0, y también vale 0 —cero kilos de arroz cuestan cero colones— y es recta porque cada paso de x agrega siempre lo mismo.
Una relación inversa se dibuja como una curva que baja y nunca toca los ejes: con cero cuadrillas la obra no se termina nunca, y por más cuadrillas que se pongan el tiempo no llega a cero.
Hay un tercer caso: una recta que no pasa por el origen, como el precio de un taxi con banderazo. Sube parejo pero no es proporcional, porque al duplicar los kilómetros el precio no se duplica.
| Directa | Inversa | |
|---|---|---|
| Prueba numérica | y ÷ x constante | x · y constante |
| Regla | y = k · x | y = k ÷ x |
| Gráfico | Recta por el origen | Curva que baja |
| Al duplicar x | y se duplica | y se parte a la mitad |
Repartos proporcionales
Repartir en partes proporcionales aparece en sociedades, herencias y premios compartidos, y se resuelve con la misma idea de constante.
Si tres vecinos ponen 20 000, 30 000 y 50 000 colones para comprar lotería y ganan 400 000, el reparto justo no es en partes iguales: es proporcional al aporte.
El total aportado es 20 000 + 30 000 + 50 000 = 100 000. Entonces cada colón aportado da 400 000 ÷ 100 000 = 4 colones de premio. Esa es la constante.
- El primero: 20 000 × 4 = 80 000.
- El segundo: 30 000 × 4 = 120 000.
- El tercero: 50 000 × 4 = 200 000.
Comprobación: 80 000 + 120 000 + 200 000 = 400 000, y esa suma es la verificación obligatoria de todo reparto.
Ejemplos resueltos
1. Una tabla da x = 3, y = 21; x = 5, y = 35; x = 9, y = 63. ¿Qué tipo de proporcionalidad hay y cuál es k? Cociente: 21 ÷ 3 = 7; 35 ÷ 5 = 7; 63 ÷ 9 = 7. Constante. Es directa con k = 7, y la regla es y = 7x. Comprobación con un valor nuevo: para x = 12 debería dar 84, y 84 ÷ 12 = 7.
2. Un tanque se vacía con 3 llaves en 40 minutos. ¿Cuánto tardaría con 5 llaves? Más llaves, menos tiempo: inversa. El producto se conserva: 3 × 40 = 120. Entonces 5 × t = 120, y t = 120 ÷ 5 = 24 minutos. Comprobación: 5 × 24 = 120, igual que 3 × 40.
3. En un mapa con escala 1 : 250 000, dos pueblos están a 6 cm. ¿Cuál es la distancia real? La escala es directa con k = 250 000: cada centímetro del mapa son 250 000 cm reales. 6 × 250 000 = 1 500 000 cm, o sea 15 000 m, o sea 15 km.
4. Repartí 84 000 colones entre dos personas de forma proporcional a 3 y 4. Partes totales: 3 + 4 = 7. Valor de cada parte: 84 000 ÷ 7 = 12 000. El primero recibe 3 × 12 000 = 36 000; el segundo, 4 × 12 000 = 48 000. Comprobación: 36 000 + 48 000 = 84 000, y 36 000 ÷ 48 000 da la misma relación que 3 ÷ 4.
5. Un taxi cobra 700 de banderazo más 500 por kilómetro. ¿El precio es proporcional a la distancia? No. Cociente: para 1 km, 1 200 ÷ 1 = 1 200; para 2 km, 1 700 ÷ 2 = 850. No es constante. La razón es el banderazo: los 700 se cobran una sola vez, así que al duplicar los kilómetros el precio no se duplica. Es lineal, pero no proporcional.
Los errores que más se cobran
- Decidir el tipo por intuición en vez de probar. «Más de esto, más de aquello» a veces engaña. La prueba numérica —dividir y multiplicar— no engaña nunca.
- Llamar proporcional a toda relación que crece parejo. Si al valer x = 0 la otra cantidad no vale 0, hay un valor fijo y la relación no es proporcional, aunque el gráfico sea una recta.
- Multiplicar en cruz en un caso inverso. En la inversa se conserva el producto, así que se iguala producto con producto. Cruzar ahí invierte la respuesta.
- Perder la constante en el camino. Si k = 800 al inicio, sigue siendo 800 al final.
- Repartir en partes iguales lo que se pide proporcional. El reparto proporcional exige dividir el total entre la suma de las partes y después multiplicar por la parte de cada uno.
- No comprobar que el reparto sume el total. Si las partes no suman la cantidad repartida, hay un error.
Clave de análisis
En cualquier problema de proporcionalidad lo que se busca es la constante, y para encontrarla hay dos pruebas.
Dividí un par de valores correspondientes y repetí con otro. Si el cociente se repite, la relación es directa y ese cociente es k: de ahí sale y = k · x y que el gráfico es una recta que arranca en el origen, porque k · 0 es 0.
Si el cociente no se repite, multiplicá. Si el producto se repite, la relación es inversa y ese producto es k: de ahí sale y = k ÷ x y que el gráfico es una curva que baja sin tocar los ejes, porque ni x ni y pueden valer 0 si su producto debe dar k.
Si ninguna prueba da constante, la relación no es proporcional y ninguna regla de tres sirve. El caso más frecuente es un cobro fijo más un cobro por unidad.
Y los repartos son el mismo razonamiento aplicado a un total: se suman las partes, se divide el total entre esa suma para hallar cuánto vale una parte, y se multiplica. La suma de lo repartido tiene que devolver el total.