Reglas básicas de probabilidad: unión y complemento

Al terminar vas a poder calcular la probabilidad de un suceso y saber por qué siempre queda entre 0 y 1, usar la regla del complemento para ahorrarte cuentas largas, y decidir cuándo en una unión hay que restar y cuándo no.

La probabilidad es una comparación entre una parte y el todo

Si un dado tiene seis caras iguales y preguntan qué tan posible es sacar par, la respuesta sale de comparar: 3 caras pares de 6 posibles.

Cuando los resultados son equiprobables, la probabilidad de un suceso A se calcula así:

P(A) = casos favorables ÷ casos posibles

Es la regla de Laplace, y no es un invento: es la fracción del espacio muestral que ocupa el suceso. Para «par» en el dado: 3 ÷ 6 = 0,5, o sea 50 %.

De esa definición salen solos los dos extremos, sin tener que aprenderlos aparte:

• Si el suceso es imposible, no tiene casos favorables: 0 ÷ n = 0.
• Si el suceso es seguro, sus casos favorables son todos: n ÷ n = 1.

Y como los favorables nunca pueden ser más que los posibles, toda probabilidad queda entre 0 y 1. Si te da 1,4 o un negativo, hay un error de conteo.

La probabilidad se puede escribir como fracción, como decimal o como porcentaje. 3/6, 0,5 y 50 % son lo mismo. El porcentaje se obtiene multiplicando el decimal por 100.

El complemento: lo que falta para llegar a 1

El complemento de un suceso A, que se escribe A', es todo lo que no es A dentro del espacio muestral.

Entre A y A' se reparten el espacio muestral completo: o pasa A, o pasa lo otro. No hay tercera opción y no se traslapan. Por eso:

P(A) + P(A') = 1, y de ahí P(A') = 1 − P(A)

Esta regla ahorra más trabajo que ninguna. Cada vez que un enunciado diga «al menos uno», contar directo es largo y contar el complemento es corto.

Ejemplo: al tirar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de sacar al menos un 6? Contar directo obliga a listar todos los casos con uno o dos seises. Pero el complemento es «ningún 6», que es fácil: 5 caras sin 6 en el primero por 5 en el segundo, o sea 25 de 36. Entonces P(al menos un 6) = 1 − 25/36 = 11/36.

La unión: cuándo se suma y cuándo hay que restar

La unión de dos sucesos, A o B, ocurre cuando pasa al menos uno de los dos.

Si los sucesos no pueden pasar juntos, se llaman mutuamente excluyentes y sus probabilidades simplemente se suman:

P(A o B) = P(A) + P(B)

En un dado, «sacar 1» y «sacar 5» son excluyentes: no hay una cara que sea las dos cosas. P = 1/6 + 1/6 = 2/6.

Pero si los sucesos sí pueden pasar juntos, sumar sin más cuenta dos veces los casos compartidos. Hay que descontarlos:

P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B)

El porqué se ve contando. En un dado, «par» = {2, 4, 6} y «mayor que 3» = {4, 5, 6}. Si sumás 3 + 3 = 6 casos, estás contando el 4 y el 6 dos veces, porque están en las dos listas. Los casos distintos son en realidad {2, 4, 5, 6}, o sea 4. Restando el traslape: 3 + 3 − 2 = 4. Sale igual, y ahora se entiende de dónde viene el menos.

La prueba para decidir cuál usar es una sola pregunta: ¿existe algún resultado que esté en los dos sucesos a la vez? Si no existe, son excluyentes.

Ejemplos resueltos

1. En una bolsa hay 5 bolas rojas, 3 azules y 2 verdes. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una azul? Casos posibles: 5 + 3 + 2 = 10. Favorables: 3. P(azul) = 3 ÷ 10 = 0,3, o sea 30 %. Comprobación: las tres probabilidades tienen que sumar 1. 5/10 + 3/10 + 2/10 = 10/10 = 1.

2. Con esa misma bolsa, ¿cuál es la probabilidad de NO sacar roja? Por complemento: P(roja) = 5 ÷ 10 = 0,5, así que P(no roja) = 1 − 0,5 = 0,5. Comprobación: no rojas hay 3 + 2 = 5 de 10. Coincide.

3. Al tirar un dado, ¿cuál es la probabilidad de sacar un número par o un número mayor que 3? Par = {2, 4, 6}, tres casos. Mayor que 3 = {4, 5, 6}, tres casos. Comparten {4, 6}, dos casos. P = 3/6 + 3/6 − 2/6 = 4/6, que simplificado es 2/3. Comprobación listando: los favorables distintos son 2, 4, 5 y 6, o sea 4 de 6.

4. En un grupo de 30 estudiantes, 18 juegan fútbol, 12 juegan básquet y 5 juegan los dos. Si se escoge uno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que juegue al menos uno de los dos deportes? Los sucesos se traslapan, así que hay que restar: 18 + 12 − 5 = 25 estudiantes distintos. P = 25 ÷ 30 = 5/6, aproximadamente 0,83. Fijate en el peligro: sin restar los 5 daría 30 de 30, o sea probabilidad 1, y el enunciado no dice que todos jueguen algo.

5. Se tiran dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un escudo? El espacio muestral es {EE, EC, CE, CC}, cuatro resultados equiprobables. Por complemento: «ningún escudo» es solo CC, o sea 1 de 4. Entonces P(al menos un escudo) = 1 − 1/4 = 3/4. Comprobación directa: los favorables son EE, EC y CE, o sea 3 de 4.

Los errores que más se cobran

1. Usar casos favorables sobre casos posibles cuando no son equiprobables. La regla de Laplace exige que todos los resultados tengan la misma posibilidad. En una bolsa con distinta cantidad de cada color, hay que contar bolas, no colores.
2. Dar una probabilidad mayor que 1. Es imposible por definición, porque los favorables son parte de los posibles. Si pasa, hay un error de conteo o se sumó una unión sin restar el traslape.
3. Sumar sin restar en una unión que se traslapa. Los casos compartidos entran en las dos listas y se cuentan dos veces.
4. Restar el traslape cuando no lo hay. Si los sucesos son excluyentes, P(A y B) = 0 y no hay nada que quitar. Restar de más baja la probabilidad indebidamente.
5. Contar directo un «al menos uno». Es largo y se pierden casos. El complemento de «al menos uno» es «ninguno», que casi siempre es un solo caso o una cuenta corta.
6. Confundir el complemento con «lo contrario» en el lenguaje común. El complemento de «sacar 6» no es «sacar 1»: es «sacar cualquier cosa que no sea 6», o sea cinco casos.

Clave de análisis

Todas las reglas de esta lección salen de mirar la probabilidad como la parte del espacio muestral que ocupa el suceso.

De ahí sale el cálculo básico, favorables entre posibles, y de ahí sale que el rango va de 0 a 1, porque una parte no puede ser mayor que el todo: esa es una comprobación automática de cualquier resultado. El suceso imposible queda en 0 y el seguro en 1, sin tener que aprenderlos.

De ahí sale el complemento: si A ocupa una parte, lo que sobra ocupa el resto, y juntos hacen 1. Por eso P(A') = 1 − P(A), y por eso cada «al menos uno» conviene voltearlo hacia «ninguno».

Y de ahí sale la unión: sumar dos partes está bien mientras no se pisen. Si se pisan, el pedazo común quedó contado dos veces y hay que quitarlo una vez; por eso la fórmula lleva un menos, y por eso ese menos desaparece cuando los sucesos son excluyentes.

Si dudás de cuál regla aplicar, dibujá el espacio muestral y marcá los dos sucesos.