Ángulos: tipos, medida y pares de ángulos

Al terminar vas a poder clasificar cualquier ángulo con solo compararlo contra 90° y 180°, deducir el complemento o el suplemento de un ángulo sin fórmulas prestadas, y explicar por qué los ángulos opuestos por el vértice siempre miden lo mismo.

Un ángulo no mide qué tan largos son los lados

Un ángulo es la abertura entre dos rayos que comparten el origen. Ese origen común se llama vértice y los rayos son los lados.

Aquí está la idea que hay que tener clara desde el principio: el ángulo no depende del largo de los lados. Si agarrás un ángulo dibujado y alargás los dos rayos, la abertura no cambió. Es lógico, porque los rayos ya eran infinitos: dibujarlos más largos solo muestra más de lo mismo.

Lo que se mide es cuánto hay que girar un lado para llegar al otro. La unidad es el grado, que sale de partir una vuelta completa en 360 partes iguales.

De ahí bajan los dos números que gobiernan todo lo demás: media vuelta son 180° y un cuarto de vuelta son 90°. El ángulo de 90° se llama recto y es el que forman dos rectas perpendiculares.

La clasificación entera sale de comparar contra 90 y 180

No hace falta recordar seis nombres sueltos. Se toma la medida del ángulo y se pregunta dónde cae respecto de esos dos números.

Fijate que las palabras ayudan: agudo es puntiagudo, cerrado; obtuso es romo, abierto; llano es plano, una línea. Si la medida cae justo en 90° o en 180°, tiene nombre propio; si cae en medio de dos, tiene el nombre del tramo.

Pares de ángulos: dos sumas que se repiten en todo el curso

Muchos problemas dan un ángulo y piden el otro. La relación entre los dos siempre es una suma conocida, y cada suma tiene un nombre.

Complementarios: suman 90°. Si un ángulo mide 35°, su complemento es lo que le falta para completar el ángulo recto: 90 − 35 = 55°. De ahí sale la regla: complemento = 90 − el ángulo. No hay nada que recordar aparte; es una resta.

Suplementarios: suman 180°. Si un ángulo mide 35°, su suplemento es 180 − 35 = 145°.

La palabra ayuda: complemento completa el ángulo recto, suplemento completa el llano. Y como 90 es menor que 180, un ángulo obtuso no tiene complemento: ya se pasó de 90°, no le falta nada para llegar.

Complementario y suplementario no dicen dónde están los ángulos, dicen cuánto suman. Pueden estar pegados o en hojas distintas: si suman 90°, son complementarios.

Los pares que se forman al cortarse dos rectas

Cuando dos rectas se cortan quedan cuatro ángulos alrededor del punto de corte, y no son independientes: se determinan entre ellos.

Dos ángulos que están pegados, comparten el vértice y un lado, y sus otros dos lados forman una recta, se llaman adyacentes. Como juntos completan la media vuelta, son suplementarios: suman 180°.

Dos ángulos que están enfrentados, sin compartir lado, son opuestos por el vértice. Y aquí viene lo bueno: siempre miden lo mismo, y se puede demostrar en dos líneas.

Llamemos a los cuatro ángulos a, b, c, d, en orden alrededor del punto. Los ángulos a y b son adyacentes, así que a + b = 180°. Los ángulos b y c también son adyacentes, así que b + c = 180°. Entonces a + b = b + c, y si le quitás b a los dos lados queda a = c.

No es una regla que haya que aceptar: sale de que las dos parejas comparten el mismo ángulo b y las dos completan la misma media vuelta.

Ejemplos resueltos

1. Clasificá un ángulo de 117°. Comparo: 117 es mayor que 90 y menor que 180, así que cae en el tramo del medio. Es obtuso.

2. ¿Cuál es el complemento de 62°? ¿Y su suplemento? Complemento: 90 − 62 = 28°. Comprobación: 62 + 28 = 90. Suplemento: 180 − 62 = 118°. Comprobación: 62 + 118 = 180.

3. Dos ángulos son suplementarios y uno mide el doble del otro. ¿Cuánto mide cada uno? Llamemos x al menor; el otro es 2x. Como son suplementarios: x + 2x = 180, o sea 3x = 180, y x = 180 ÷ 3 = 60°. El otro es 2 · 60 = 120°. Comprobación: 60 + 120 = 180, y 120 es el doble de 60. Cierra por los dos lados.

4. Dos rectas se cortan y uno de los ángulos mide 43°. ¿Cuánto miden los otros tres? El opuesto por el vértice mide lo mismo: 43°. Los dos adyacentes son suplementarios del de 43°: 180 − 43 = 137° cada uno. Comprobación: los cuatro suman 43 + 43 + 137 + 137 = 360°, que es la vuelta completa alrededor del punto.

5. Un ángulo mide 130°. ¿Tiene complemento? No. El complemento es lo que le falta para llegar a 90°, y 130 ya se pasó: 90 − 130 daría un número negativo, y no existen ángulos de medida negativa en este nivel. Solo los ángulos agudos tienen complemento.

Los errores que más se cobran

1. Creer que el ángulo crece si se alargan los lados. El ángulo mide abertura, no longitud. Los lados son rayos infinitos: dibujarlos más largos no cambia nada.
2. Cambiar complemento por suplemento. El error se corta recordando qué completa cada uno: el complemento completa el ángulo recto (90°), el suplemento completa el llano (180°).
3. Buscarle complemento a un ángulo obtuso. Si el ángulo ya pasó de 90°, no le falta nada para llegar: la resta 90 − x se vuelve negativa y eso avisa que la pregunta no tenía respuesta.
4. Suponer que los ángulos adyacentes son iguales. Adyacentes significa pegados y suplementarios, no congruentes. Iguales son los opuestos por el vértice.
5. Decir que dos ángulos son complementarios solo porque están pegados. La definición es la suma, no la posición. Dos ángulos pegados que suman 130° no son ni complementarios ni suplementarios.
6. Clasificar un ángulo de 180° como obtuso. El obtuso se queda debajo de 180°. Justo en 180° el ángulo tiene nombre propio: llano, porque sus lados forman una recta.

Clave de análisis

Toda esta lección se rearma con dos números de referencia: 90° y 180°, que no son arbitrarios: son el cuarto y la mitad de la vuelta de 360°.

La clasificación completa sale de ubicar la medida respecto de esos dos números: antes de 90 es agudo, en 90 es recto, entre 90 y 180 es obtuso, en 180 es llano, y más allá es cóncavo hasta cerrar la vuelta en 360. No hay que recordar seis definiciones: hay que recordar dos números y mirar dónde cae el ángulo.

Los pares también salen de ahí. Complementarios son los que completan el recto y suplementarios los que completan el llano; por eso el complemento se calcula restando de 90 y el suplemento restando de 180, y por eso un obtuso no puede tener complemento.

Y para los cuatro ángulos que se forman al cortarse dos rectas, alcanza con una idea: los pegados completan una media vuelta. De esa sola frase salen las dos conclusiones —los adyacentes suman 180° y los opuestos por el vértice son congruentes— sin tener que aceptarlas de memoria, porque la segunda se deduce cancelando el ángulo que las dos parejas comparten.