Problemas con figuras planas y sus medidas

Al terminar vas a poder distinguir cuándo un problema pide perímetro y cuándo pide área, deducir la fórmula del área de un triángulo y de un trapecio en vez de traerlas prestadas, y resolver figuras compuestas partiéndolas en piezas conocidas.

Perímetro y área miden cosas distintas

Antes de cualquier fórmula hay que decidir qué se está midiendo, porque es el error que más caro sale.

El perímetro es cuánto mide el contorno: la suma de los lados. Se mide con una unidad de longitud (cm, m) y contesta preguntas como cuánta malla se necesita para cercar un potrero.

El área es cuánta superficie cubre la figura: cuántos cuadraditos de lado 1 caben adentro. Se mide con una unidad cuadrada (cm², m²) y contesta cuánto zacate hay que comprar para tapizar ese potrero.

La unidad delata la respuesta. Si el resultado es un perímetro y lo escribiste en m², algo se mezcló. Un contorno nunca se mide en unidades cuadradas.

Hay una consecuencia que sorprende y conviene tener clara: dos figuras con el mismo perímetro pueden tener áreas muy distintas. Con 20 m de malla podés hacer un cuadrado de 5 m de lado (área 25 m²) o un rectángulo de 8 m por 2 m (área 16 m²). Mismo contorno, distinta superficie.

Las fórmulas de área no son datos: se deducen

El rectángulo es el punto de partida. Si el rectángulo mide 6 de base y 4 de altura, se le pueden acomodar adentro 4 filas de 6 cuadraditos: 6 × 4 = 24 cuadraditos. De ahí sale A = b · h, y no es una convención: es literalmente contar los cuadrados.

El cuadrado es un rectángulo con b = h, así que su área es l · l = l².

El triángulo sale del rectángulo. Tomá un rectángulo de base b y altura h, y cortalo por una diagonal: quedan dos triángulos congruentes. Cada uno se lleva la mitad, así que A = (b · h) ÷ 2. Ahí está el porqué del «entre dos» que todo el mundo olvida.

El paralelogramo también sale del rectángulo. Cortale el triangulito de un extremo y pegalo del otro lado: se convierte en un rectángulo de la misma base y la misma altura. Por eso A = b · h, y por eso la altura es la perpendicular, no el lado inclinado.

El trapecio sale de promediar las bases. Poné dos trapecios iguales, uno de cabeza contra el otro: forman un paralelogramo cuya base es B + b y cuya altura es h. Ese paralelogramo tiene área (B + b) · h, y el trapecio es la mitad: A = ((B + b) ÷ 2) · h.

Leído así, la fórmula tiene sentido: es la base promedio por la altura.

Un orden para resolver problemas de figuras

1. Dibujá la figura y anotá los datos sobre ella. Un dato que no está en el dibujo es un dato que se olvida.
2. Decidí si piden contorno o superficie, y fijate en la unidad que va a llevar la respuesta.
3. Revisá que las unidades sean todas la misma antes de operar. Mezclar metros con centímetros arruina el resultado.
4. Si la figura es rara, partila en rectángulos y triángulos.
5. Comprobá con una estimación: el área de la figura tiene que ser menor que la del rectángulo que la envuelve.

Figuras compuestas: partir o restar

Una figura en forma de ele no tiene fórmula propia, y no la necesita. Hay dos caminos y los dos funcionan:

Partir y sumar. Se corta la figura en rectángulos y se suman las áreas.

Envolver y restar. Se dibuja el rectángulo completo que la contiene y se le resta el pedazo que falta.

Que los dos caminos den lo mismo es la mejor comprobación que existe para este tipo de problema.

Cuidado con el perímetro de las compuestas: no es la suma de los perímetros de las piezas. Los lados por donde se pegaron quedan adentro y no son contorno.

Ejemplos resueltos

1. Un terreno rectangular mide 18 m por 12 m. ¿Cuánta malla se necesita para cercarlo y cuánto zacate para cubrirlo? La malla es perímetro: 18 + 12 + 18 + 12 = 60 m. También se puede hacer 2 · (18 + 12) = 2 · 30 = 60. El zacate es área: 18 × 12 = 216 m². Fijate en las unidades: la malla en metros, el zacate en metros cuadrados.

2. Un triángulo tiene base 14 cm y altura 9 cm. ¿Cuál es su área? A = (14 × 9) ÷ 2 = 126 ÷ 2 = 63 cm². Comprobación: el rectángulo de 14 por 9 mide 126 cm², y el triángulo es la mitad exacta. 63 × 2 = 126.

3. Un trapecio tiene bases de 10 cm y 6 cm, y altura 5 cm. ¿Cuál es su área? Base promedio: (10 + 6) ÷ 2 = 8. Área: 8 × 5 = 40 cm². Comprobación con la otra forma: (10 + 6) · 5 = 80, y la mitad es 40. Coincide.

4. Una figura en ele se arma con un rectángulo de 8 m por 3 m y otro de 4 m por 5 m. ¿Cuál es su área? Partiendo: 8 × 3 = 24 m² y 4 × 5 = 20 m². Total 24 + 20 = 44 m².

5. Un cuadrado tiene perímetro 36 cm. ¿Cuál es su área? El perímetro es la suma de los cuatro lados iguales, así que el lado es 36 ÷ 4 = 9 cm. El área es 9 × 9 = 81 cm². Comprobación: 9 × 4 = 36, que era el perímetro dado. Fijate en el orden: del perímetro se saca el lado, y del lado el área. No se puede pasar de perímetro a área de un solo salto.

Los errores que más se cobran

1. Dar el área cuando piden perímetro, o al revés. El enunciado lo dice con palabras: cercar, bordear y enmarcar son contorno; pintar, alfombrar y sembrar son superficie.
2. Olvidar el «entre dos» del triángulo. Se olvida porque se aprende como fórmula suelta. Si te acordás de que el triángulo es medio rectángulo, el 2 aparece solo.
3. Usar el lado inclinado como altura. En el paralelogramo, el triángulo y el trapecio la altura es la perpendicular entre base y vértice o entre bases. El lado inclinado siempre es más largo y da un área inflada.
4. Mezclar unidades. Si un lado viene en metros y otro en centímetros, hay que pasarlos a la misma antes de multiplicar. Si no, el resultado no significa nada.
5. Sumar los perímetros de las piezas de una figura compuesta. Los bordes interiores por donde se pegaron ya no son contorno y no se cuentan.
6. Escribir el área sin unidad cuadrada. «216 m» dice que es una longitud. El área lleva m² porque se contaron cuadrados.

Clave de análisis

En cualquier problema de figuras planas todo se ordena con una pregunta al inicio y una al final. Al inicio: ¿me piden el borde o lo de adentro? Borde es perímetro y se suma; adentro es área y se multiplica. Al final: ¿la unidad calza? Longitud simple para perímetro, unidad cuadrada para área.

Y las fórmulas de área no hace falta traerlas de una lista, porque todas nacen del rectángulo. El rectángulo es contar cuadraditos: base por altura. El triángulo es medio rectángulo, y de ahí el ÷ 2. El paralelogramo es un rectángulo con un pedazo cambiado de lado, y de ahí que use la altura perpendicular y no el lado inclinado. El trapecio es medio paralelogramo de base B + b, y de ahí que use la base promedio.

Si alguna vez dudás de una fórmula, volvé al rectángulo y reconstruila cortando o duplicando. Y si la figura no se parece a ninguna, partila en pedazos que sí: no hay figura de este nivel que no se arme con rectángulos y triángulos.