Estrategias para resolver problemas numéricos

Al terminar vas a poder atacar un problema numérico con un plan en vez de a la suerte, escoger entre cinco estrategias según lo que el enunciado te da, y comprobar tu respuesta con una operación distinta de la que usaste.

Un problema no se resuelve buscando la fórmula

Cuando un problema no sale, casi nunca es porque falten operaciones: es porque no se entendió qué se está pidiendo. Por eso el primer trabajo no es calcular sino leer.

Un plan que funciona tiene cuatro momentos, y cada uno contesta una pregunta:

1. Entender. ¿Qué me dan y qué me piden? Con tus palabras, sin copiar el enunciado.
2. Planear. ¿Qué camino me lleva de lo que tengo a lo que quiero?
3. Ejecutar. Hacer las cuentas, una por línea.
4. Revisar. ¿La respuesta tiene sentido? ¿Se puede comprobar de otra manera?

El paso que más se salta es el segundo, y es el que decide si el problema sale. Sin plan, uno opera con los números que aparecen, en el orden en que aparecen, y eso funciona por casualidad.

Un truco del primer paso: subrayá lo que piden y escribilo aparte, con unidad. Muchos problemas se pierden por calcular algo correcto que no era lo preguntado.

Cinco estrategias y cuándo sirve cada una

No son recetas intercambiables: cada una sirve para una forma de enunciado.

Hacer un dibujo o un esquema. Sirve cuando hay posiciones, recorridos o repartos. Un problema de terreno se aclara con un rectángulo: el dibujo convierte palabras en relaciones que se ven.

Hacer una tabla. Sirve cuando hay varios casos o un dato que cambia por etapas. Poner cada etapa en una fila evita perderse. También sirve para descubrir un patrón.

Trabajar hacia atrás. Sirve cuando el enunciado da el final y pregunta por el principio: se recorre al revés, cambiando cada operación por su inversa.

Buscar el patrón. Sirve cuando hay una secuencia que se repite. Se calculan los primeros casos, se mira qué cambia de uno a otro y se generaliza.

Estimar primero. Sirve siempre. Redondeás y sacás un resultado aproximado; si la cuenta exacta se aleja mucho, hay un error.

Un problema resuelto con el plan completo

Un pulpero compró 8 cajas de 24 refrescos cada una. Pagó 480 colones por refresco. Vendió 150 refrescos a 650 colones cada uno y el resto a 600. ¿Cuánto ganó en total?

Entender. Me dan: cantidad de cajas, refrescos por caja, precio de compra y dos precios de venta con sus cantidades. Me piden: la ganancia, que es lo que entró menos lo que salió.

Planear. Necesito tres cosas: cuántos refrescos hay, cuánto costaron, cuánto se vendieron. La ganancia es venta total menos costo total.

Ejecutar. Refrescos: 8 × 24 = 192. Costo: 192 × 480 = 92 160 colones. Venta de los primeros 150: 150 × 650 = 97 500. El resto: 192 − 150 = 42 refrescos, a 600: 42 × 600 = 25 200. Venta total: 97 500 + 25 200 = 122 700. Ganancia: 122 700 − 92 160 = 30 540 colones.

Revisar. Estimación: unos 200 refrescos a unos 500 dan unos 100 000 de costo, y vendidos a unos 620 promedio dan unos 124 000. La ganancia ronda los 25 000, así que no hay error grueso.

Fijate en el paso más olvidado: 192 − 150 = 42. Mucha gente vende los 192 al segundo precio y se le infla el total.

Trabajar hacia atrás, que es la más útil y la menos usada

Pensé un número, le sumé 7, multipliqué el resultado por 3 y me dio 36. ¿Cuál era el número?

Ir hacia adelante obliga a adivinar. Ir hacia atrás no: se deshace cada operación con su inversa, en orden inverso.

Lo último que se hizo fue multiplicar por 3, así que lo primero que se deshace es dividir entre 3: 36 ÷ 3 = 12. Antes se había sumado 7, así que se resta: 12 − 7 = 5.

Comprobación hacia adelante: 5 + 7 = 12, y 12 × 3 = 36. Cierra.

Ejemplos resueltos

1. Un tanque tiene 240 litros. Se sacan 3/8 del agua. ¿Cuántos litros quedan? Primero lo que sale: 240 ÷ 8 = 30, y 30 × 3 = 90 litros. Lo que queda: 240 − 90 = 150 litros. Comprobación por otro camino: si salieron 3/8, quedan 5/8. 240 ÷ 8 = 30, y 30 × 5 = 150. Coincide.

2. Un estudiante gastó la mitad de su plata en el almuerzo y 1 200 colones en el bus, y le quedaron 800. ¿Cuánto tenía? Hacia atrás: antes del bus tenía 800 + 1 200 = 2 000, que era la mitad. Entonces al inicio tenía 2 000 × 2 = 4 000 colones. Comprobación hacia adelante: la mitad de 4 000 es 2 000; menos 1 200 del bus quedan 800.

3. En una finca hay gallinas y vacas: 30 animales en total y 84 patas. ¿Cuántas de cada una? Tabla y ajuste. Si las 30 fueran gallinas habría 60 patas, y faltan 84 − 60 = 24. Cada vaca que entra en lugar de una gallina agrega 2 patas, así que hacen falta 24 ÷ 2 = 12 vacas, y 30 − 12 = 18 gallinas. Comprobación: 18 × 2 + 12 × 4 = 36 + 48 = 84 patas, y 18 + 12 = 30 animales.

4. Una figura se arma con palillos: la primera tiene 4, la segunda 7, la tercera 10. ¿Cuántos tiene la octava? Patrón: de una a otra se agregan 3 palillos. De la tercera a la octava hay 5 pasos: 10 + 5 × 3 = 10 + 15 = 25 palillos. Comprobación contando: 13, 16, 19, 22, 25.

5. Un albañil pone 45 bloques por hora y otro 30. Trabajando juntos, ¿cuánto tardan en poner 600 bloques? Juntos ponen 45 + 30 = 75 bloques por hora. Entonces 600 ÷ 75 = 8 horas. Comprobación: en 8 horas el primero pone 360 y el segundo 240; 360 + 240 = 600.

Los errores que más se cobran

1. Operar con los números en el orden en que aparecen. El enunciado no se escribe en el orden de las operaciones: sin plan, se resuelve otro problema.
2. Contestar algo distinto de lo que preguntan. Es el error más frustrante, porque las cuentas están bien. Se evita escribiendo la pregunta aparte, con unidad, antes de empezar.
3. Usar todos los números del enunciado. Algunos problemas traen datos que no hacen falta. Que un número aparezca no significa que entre en la cuenta.
4. No revisar si la respuesta es razonable. Si un problema de precios de almuerzo da 90 000 colones, hay un error. La estimación previa es la que permite darse cuenta.
5. Comprobar repitiendo la misma cuenta. Si te equivocaste, te vas a equivocar igual. La comprobación tiene que ser otro camino: ir hacia atrás, calcular el complemento, usar la operación inversa.
6. Descartar la parte que sobra. En el problema del pulpero, olvidar restar 192 − 150 infla el total. Siempre que un enunciado diga «y el resto», hay una resta obligatoria.

Clave de análisis

Resolver problemas no es tener más fórmulas: es tener un orden y unas cuantas herramientas que se escogen según la forma del enunciado.

El orden son cuatro preguntas: qué me dan y qué me piden, qué camino los une, cuánto da, y si eso tiene sentido. La cuarta no es opcional: es la que detecta el error antes de entregar.

Las herramientas se escogen por una señal del enunciado. Si hay posiciones o recorridos, dibujá. Si hay etapas o varios casos, hacé una tabla. Si te dan el final y piden el principio, andá hacia atrás deshaciendo cada operación con su inversa. Si hay una secuencia, buscá qué cambia de un caso al siguiente. Y estimá siempre antes.

Si un problema se traba, casi nunca es falta de cuentas: es que el paso «entender» quedó incompleto. Volvé a leer y escribí con tus palabras qué te piden.