Jerarquía de operaciones con números enteros

Al terminar vas a poder resolver una expresión con varias operaciones en el orden correcto, explicar por qué ese orden no es un capricho, y detectar en qué paso se equivocó un procedimiento ajeno.

Por qué hay un orden y no se puede resolver de izquierda a derecha

Mirá esta expresión: 3 + 4 × 2.

Si resolvés de izquierda a derecha da 7 × 2 = 14. Si hacés primero la multiplicación da 3 + 8 = 11. Dos personas, dos resultados. Eso no puede pasar en matemática: una expresión escrita tiene que significar una sola cosa.

Para que no pase, se acordó un orden de prioridad. Y no es arbitrario: las operaciones más potentes se resuelven primero, porque cada una es un atajo de la anterior.

Multiplicar es sumar repetido: 4 × 2 es 2 + 2 + 2 + 2. Elevar a una potencia es multiplicar repetido: 2³ es 2 · 2 · 2. Entonces, cuando en una expresión hay una multiplicación, ese producto es un solo número disfrazado de operación, y hay que terminar de armarlo antes de sumarlo con otra cosa. En 3 + 4 × 2, el 4 × 2 es un paquete de 8 que se suma al 3. La respuesta correcta es 11.

El orden va de la operación más concentrada a la más suelta: primero lo que está encerrado, después potencias y raíces, después productos y cocientes, y de último sumas y restas.

El orden completo, con lo que hay que cuidar en cada nivel

1. Paréntesis, corchetes y llaves. Lo que está adentro se resuelve primero, empezando por el más interno. Los paréntesis existen justamente para romper el orden natural: si querés que la suma vaya primero, la encerrás.

2. Potencias y raíces. Cuidado con la base: en (−3)² el paréntesis dice que la base es −3, así que es (−3) · (−3) = 9. En cambio −3² no lleva paréntesis, así que se eleva solo el 3 y el signo queda afuera: −(3 · 3) = −9. No es lo mismo.

3. Multiplicaciones y divisiones. Están en el mismo nivel y se resuelven de izquierda a derecha, en el orden en que aparecen. Nada de multiplicar siempre primero: en 12 ÷ 3 × 2, primero va la división porque está antes, y da 4 × 2 = 8.

4. Sumas y restas. También están en el mismo nivel y también van de izquierda a derecha.

Los dos últimos niveles se resuelven en el orden de aparición por la misma razón: dividir es multiplicar por el inverso y restar es sumar el opuesto, así que en el fondo son la misma operación y ninguna manda sobre la otra.

Los signos, que es donde se pierde la gente

Al trabajar con enteros hay que llevar dos cosas a la vez: el orden y el signo. Conviene tener presentes las reglas de signo del producto, que también tienen su razón.

Multiplicar por un negativo es repetir y dar vuelta: por eso (−1) · 5 = −5. Multiplicar por dos negativos es dar vuelta dos veces, o sea volver al punto de partida: (−3) · (−4) = 12.

En la suma y la resta no hay tal cosa: ahí lo que manda es quién está más lejos del cero, como se vio con la recta numérica. Confundir las reglas de signo del producto con las de la suma es el error más frecuente de todo el tema.

Un procedimiento completo, paso a paso

Resolvamos −2 + 3 · [8 − (5 − 9)] ÷ 2².

Paso 1: el paréntesis más interno. (5 − 9) = 5 + (−9) = −4. Queda: −2 + 3 · [8 − (−4)] ÷ 2²

Paso 2: el corchete. 8 − (−4) = 8 + 4 = 12. Queda: −2 + 3 · 12 ÷ 2²

Paso 3: la potencia. 2² = 4. Queda: −2 + 3 · 12 ÷ 4

Paso 4: producto y cociente, de izquierda a derecha. Primero 3 · 12 = 36, después 36 ÷ 4 = 9. Queda: −2 + 9

Paso 5: la suma. −2 + 9 = 7.

Mirá el peligro del paso 4: si hubieras dividido primero, 12 ÷ 4 = 3 y 3 · 3 = 9. Aquí coincide, pero con otros números no, y por eso la regla es de izquierda a derecha.

Ejemplos resueltos

1. Calculá 20 − 4 · 3. La multiplicación va primero: 4 · 3 = 12. Después 20 − 12 = 8. Si se resolviera de izquierda a derecha daría 16 · 3 = 48, que está mal: el 4 · 3 es un paquete de 12 que se le quita al 20.

2. Calculá (−5)² − (−5). Potencia primero: (−5)² = (−5) · (−5) = 25, positivo porque los signos son iguales. Después la resta: 25 − (−5) = 25 + 5 = 30.

3. Calculá 36 ÷ 6 ÷ 3. Mismo nivel, así que de izquierda a derecha: 36 ÷ 6 = 6, y 6 ÷ 3 = 2. Fijate por qué importa el orden: si se hiciera 6 ÷ 3 = 2 primero, quedaría 36 ÷ 2 = 18, que es otro resultado. Con divisiones seguidas el orden sí cambia la respuesta.

4. Calculá −4 · (7 − 10) + 2. Paréntesis: 7 − 10 = −3. Producto: (−4) · (−3) = 12, positivo porque los dos son negativos. Suma: 12 + 2 = 14.

5. Un estudiante resolvió 10 − 2 · 3² así: 10 − 2 = 8; 8 · 3 = 24; 24² = 576. ¿Dónde se equivocó? Se equivocó desde el primer paso, y arrastró el error. El orden manda resolver primero la potencia: 3² = 9. Después el producto: 2 · 9 = 18. Y de último la resta: 10 − 18 = −8. El error de fondo fue resolver de izquierda a derecha ignorando la jerarquía.

Los errores que más se cobran

1. Resolver de izquierda a derecha sin mirar qué operación es. Es el error madre. La lectura del español va de izquierda a derecha; la de una expresión matemática va por nivel de prioridad.
2. Creer que la multiplicación siempre va antes que la división. Están en el mismo nivel. Lo que decide entre ellas es cuál aparece primero.
3. Confundir (−3)² con −3². El paréntesis dice quién es la base. Con paréntesis la base es −3 y el resultado es 9; sin paréntesis se eleva solo el 3 y queda −9.
4. Aplicar la regla «menos por menos da más» a una suma. Esa regla es del producto y del cociente. En (−3) + (−4) los dos negativos se acumulan y dan −7, no 7.
5. Abrir los paréntesis de afuera hacia adentro. Se empieza por el más interno, porque el de afuera todavía no tiene un número adentro con el cual operar.
6. No reescribir la expresión después de cada paso. Resolver todo mentalmente es la manera más segura de perder un signo.

Clave de análisis

La jerarquía no es una lista que haya que aceptar: es la consecuencia de que cada operación sea un atajo de la anterior. La multiplicación es una suma repetida, así que un producto es un número a medio armar y hay que terminarlo antes de sumarlo. La potencia es una multiplicación repetida, así que va todavía antes. Y el paréntesis está por encima de todo porque su único trabajo es decir «esto es un solo bloque».

Si se te olvida el orden, reconstruilo con esa idea: lo más concentrado primero. Paréntesis, después potencias y raíces, después productos y cocientes, y al final sumas y restas. Y dentro de cada uno de los dos últimos niveles, de izquierda a derecha, porque ahí no hay ninguna operación más fuerte que la otra.

Y llevate una separación: las reglas de signo del producto no valen para la suma. En el producto se cuentan los negativos; en la suma se mira quién está más lejos del cero. Mezclarlas es lo que más puntos cuesta.