Potencias y raíces: cómo se calculan

Al terminar vas a poder calcular potencias de base negativa sin equivocarte de signo, deducir las propiedades de las potencias en vez de aceptarlas, y estimar una raíz cuadrada que no es exacta entre dos enteros.

Una potencia es una multiplicación abreviada

Escribir 2 · 2 · 2 · 2 · 2 es cansado, y con veinte factores es imposible. Por eso se inventó una escritura corta: 2⁵.

En aⁿ, la base (a) es el factor que se repite y el exponente (n) dice cuántas veces aparece ese factor. Así que 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.

Dos lecturas se confunden siempre y conviene separarlas de una vez: el exponente no multiplica a la base. 2⁵ no es 2 · 5 = 10, es 32. Y 5² no es lo mismo que 2⁵: el primero es 25 y el segundo es 32, porque cambia quién se repite.

Dos casos que salen de la definición y no hay que aprender aparte:

• a¹ = a, porque el factor aparece una sola vez.
• a⁰ = 1 para cualquier a distinto de cero. La razón se ve al dividir: 2³ ÷ 2³ es un número entre sí mismo, o sea 1, y por la propiedad del cociente también es 2³⁻³ = 2⁰. Entonces 2⁰ tiene que valer 1.

El signo de una potencia: contar cuántas vueltas se dan

Cuando la base es negativa, el signo del resultado depende de si el exponente es par o impar, y hay una razón muy simple.

Cada factor negativo «da vuelta» el signo. Dos vueltas dejan todo como estaba. Entonces:

• Exponente par: los negativos se emparejan y todos se cancelan. El resultado es positivo. (−2)⁴ = (−2)(−2)(−2)(−2) = 16.
• Exponente impar: sobra un negativo sin pareja. El resultado es negativo. (−2)³ = (−2)(−2)(−2) = −8.

Y aparte está el asunto del paréntesis, que decide quién es la base:

• (−2)⁴ : la base es −2, se repite cuatro veces. Resultado 16.
• −2⁴ : la base es 2 y el menos está afuera. Es −(2 · 2 · 2 · 2) = −16.

Las dos expresiones se parecen y dan resultados opuestos. Leé siempre primero dónde está el paréntesis.

Las propiedades salen de contar factores

No hay que aceptar ninguna propiedad de las potencias sin verla. Todas se deducen escribiendo los factores.

Producto de igual base: 2³ · 2² = (2·2·2) · (2·2) = 2⁵. Se juntaron 3 factores con 2 factores, así que los exponentes se suman.

Cociente de igual base: 2⁵ ÷ 2³ es (2·2·2·2·2) ÷ (2·2·2). Tres factores de arriba se cancelan con los tres de abajo y quedan 2, o sea 2². Los exponentes se restan.

Potencia de una potencia: (2³)² = 2³ · 2³ = 2⁶. El bloque de 3 factores se repitió 2 veces, así que los exponentes se multiplican.

Las tres propiedades son la misma idea: contar cuántos factores quedan. Si se te olvidan, escribí los factores y aparecen solas.

Ojo con lo que no vale: (a + b)² no es a² + b². Probalo con números: (3 + 4)² = 7² = 49, mientras que 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Son distintos, y por eso la suma dentro de un paréntesis se resuelve antes de elevar.

La raíz cuadrada deshace el cuadrado

√25 = 5 porque 5² = 25. La raíz cuadrada pregunta qué número, multiplicado por sí mismo, da el radicando.

Como toda operación inversa, se comprueba haciendo la directa: si creés que √49 es 7, elevá 7 al cuadrado y mirá si vuelve 49.

Tener presentes los cuadrados de 1 a 12 vuelve el tema rápido, y esa lista no es un dato suelto: se construye multiplicando cada número por sí mismo, y conviene practicarla hasta que salga sola.

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144.

Cuando el radicando no está en la lista, la raíz no es entera, pero sí se puede acorralar entre dos enteros. Para √50: el 50 está entre 49 y 64, así que √50 está entre 7 y 8, y más cerca de 7 porque 50 está mucho más cerca de 49.

Dos cosas más que se deducen: en los enteros, √0 = 0, y no existe raíz cuadrada de un número negativo, porque ningún número multiplicado por sí mismo da negativo: si es positivo da positivo y si es negativo también, por la regla de los signos iguales.

Ejemplos resueltos

1. Calculá (−3)⁴ y −3⁴. (−3)⁴: la base es −3 y el exponente es par, así que el resultado es positivo. 3 · 3 · 3 · 3 = 81. −3⁴: la base es 3, el menos queda afuera. −(3 · 3 · 3 · 3) = −81.

2. Calculá (−2)⁵. Exponente impar con base negativa, así que el resultado es negativo. 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32, entonces es −32. Comprobación paso a paso: (−2)(−2) = 4; 4(−2) = −8; (−8)(−2) = 16; 16(−2) = −32.

3. Simplificá 5⁷ ÷ 5⁴ usando la propiedad y comprobalo. Igual base en un cociente: se restan los exponentes. 5⁷⁻⁴ = 5³ = 125. Comprobación: 5⁷ = 78 125 y 5⁴ = 625; 78 125 ÷ 625 = 125. Coincide.

4. Calculá √81 + √16. √81 = 9 porque 9² = 81. √16 = 4 porque 4² = 16. Entonces 9 + 4 = 13. Cuidado: no es √(81 + 16) = √97. La raíz no se reparte sobre una suma.

5. ¿Entre cuáles dos enteros está √30? Busco los cuadrados vecinos: 5² = 25 y 6² = 36. Como 30 está entre 25 y 36, la raíz está entre 5 y 6. Y como 30 está más cerca de 25 que de 36, √30 está más cerca de 5.

Los errores que más se cobran

1. Multiplicar la base por el exponente. 3⁴ no es 12. El exponente cuenta factores, no es un factor más. Si dudás, escribí la multiplicación completa.
2. Confundir (−a)ⁿ con −aⁿ. El paréntesis decide quién es la base. Sin paréntesis, el signo menos no entra a la potencia.
3. Poner positivo el resultado de una base negativa con exponente impar. Los negativos se cancelan de a dos; con exponente impar siempre sobra uno, y ese deja el resultado negativo.
4. Sumar los exponentes en una potencia de potencia. En (2³)² el bloque se repite, así que los exponentes se multiplican: 2⁶. La suma es para el producto de potencias de igual base.
5. Repartir la potencia o la raíz sobre una suma. Ni (a + b)² es a² + b², ni √(a + b) es √a + √b. El contraejemplo con 3 y 4 lo cierra en dos segundos.
6. Buscar la raíz cuadrada de un negativo. No existe dentro de los números que se usan en este nivel, porque cualquier número al cuadrado da positivo o cero.

Clave de análisis

Todo el tema se sostiene en una sola frase: el exponente cuenta cuántas veces aparece la base como factor. De ahí sale todo lo demás sin necesidad de listas.

Sale el valor: escribí los factores y multiplicá. Sale el signo: cada factor negativo da vuelta el resultado, y como las vueltas se cancelan de a dos, el exponente par deja positivo y el impar deja negativo. Salen las tres propiedades: multiplicar potencias de igual base junta factores, así que se suman los exponentes; dividirlas cancela factores, así que se restan; elevar una potencia repite el bloque, así que se multiplican.

La raíz cuadrada se reconstruye desde el otro lado: es la pregunta inversa, cuál número al cuadrado da el radicando. Por eso toda raíz se comprueba elevando al cuadrado, por eso no hay raíz de un negativo, y por eso una raíz inexacta se ubica buscando los dos cuadrados perfectos que la rodean.

Y cuando una propiedad te dé duda, no la busqués: escribí los factores uno por uno. En este tema, escribir la multiplicación completa siempre saca de dudas.