Problemas cotidianos con números enteros

Al terminar vas a poder traducir una situación cotidiana a una operación con enteros, decidir qué significa el cero en cada caso, y explicar por qué una respuesta negativa a veces es correcta y a veces avisa de un error.

Los enteros aparecen cuando hay dos sentidos opuestos

Un número negativo no sirve para contar cosas: nadie tiene −3 mangos. Los negativos aparecen cuando la situación tiene dos direcciones contrarias respecto de un punto de referencia.

Fijate en los casos donde se usan todos los días en Costa Rica:

Antes de operar hay que decidir dos cosas: dónde está el cero y cuál sentido es el positivo. Esa decisión es libre, pero una vez tomada hay que sostenerla hasta el final del problema.

Si en un problema de buzos decidís que bajar es negativo, todas las bajadas del problema van con menos. Cambiar el criterio a mitad de camino es el error más caro del tema.

Cómo se traduce el enunciado a una operación

Las palabras del enunciado llevan la operación adentro. Conviene reconocerlas por lo que hacen, no por una lista.

Palabras que agregan en el sentido positivo (ganó, subió, depositó, aumentó, recibió) se traducen sumando un positivo.

Palabras que agregan en el sentido negativo (gastó, bajó, debe, perdió, retiró) se traducen sumando un negativo, que es lo mismo que restar.

Palabras de diferencia (cuánto más, cuánta diferencia, qué tanto separa) se traducen restando, y ahí es donde aparece el caso interesante: la diferencia entre dos temperaturas o dos alturas se calcula restando, y como restar es sumar el opuesto, restarle un negativo a un positivo suma.

Ejemplo que se entiende solo: si el pico del Chirripó está a 3 820 m sobre el nivel del mar y un buzo está a 30 m bajo el nivel del mar, la diferencia de altura es 3 820 − (−30) = 3 820 + 30 = 3 850 m. Tiene sentido: hay que subir los 30 metros hasta el mar y después los 3 820.

Un orden que no falla

1. Escribí qué representa el cero y qué sentido va a ser positivo.
2. Traducí cada dato a un entero con su signo.
3. Escribí una sola expresión con todos los datos, en el orden en que pasan las cosas.
4. Resolvé respetando la jerarquía de operaciones.
5. Interpretá el signo del resultado en el contexto y escribí la respuesta en palabras, con unidad.

El paso 5 es el que separa una cuenta de una respuesta. «−23» no contesta nada; «quedó 23 metros bajo el nivel del mar» sí.

Cuándo un resultado negativo está bien y cuándo avisa de un error

Un resultado negativo es correcto si la situación admite ese sentido: una deuda, una profundidad, una temperatura bajo cero, un piso de sótano.

Pero si el problema pregunta por algo que no puede ser negativo —cuántos estudiantes hay, cuántos kilos pesa una bolsa, cuánta distancia se recorrió— y te dio negativo, hay un error: casi siempre se restó al revés o se cambió el criterio de signos a mitad del problema.

Esa lectura del signo es una comprobación gratis que mucha gente no usa.

Ejemplos resueltos

1. Doña Rosa tiene 45 000 colones en la cuenta. Paga el recibo de la luz por 28 000, le depositan 60 000 del salario y saca 95 000 para el mercado. ¿Cómo queda? El cero es «cuenta vacía»; positivo es tener. Expresión: 45 000 − 28 000 + 60 000 − 95 000. Paso a paso: 45 000 − 28 000 = 17 000; 17 000 + 60 000 = 77 000; 77 000 − 95 000 = −18 000. Queda con un sobregiro de 18 000 colones, o sea debiendo. El signo negativo tiene sentido: la cuenta admite saldo en contra. Comprobación: entró 45 000 + 60 000 = 105 000 y salió 28 000 + 95 000 = 123 000. Salió 18 000 más de lo que entró.

2. La temperatura en un cafetal de Los Santos fue de 4 °C a las 5 a. m. y de 19 °C al mediodía. ¿Cuánto subió? La subida es una diferencia: 19 − 4 = 15 °C. El resultado es positivo, y así tenía que ser: la temperatura del mediodía es mayor.

3. En un lugar de montaña la temperatura pasó de −3 °C a 12 °C. ¿Cuánto varió? Diferencia: 12 − (−3) = 12 + 3 = 15 °C de aumento. Comprobación en la recta: de −3 a 0 hay 3 grados, y de 0 a 12 hay 12. Total 3 + 12 = 15.

4. Un ascensor sale del piso 6, baja 9 pisos, sube 3 y baja 2. ¿Dónde queda? Planta baja es el cero; subir es positivo. Expresión: 6 − 9 + 3 − 2. Paso a paso: 6 − 9 = −3; −3 + 3 = 0; 0 − 2 = −2. Queda en el sótano 2. El negativo es correcto porque el edificio tiene sótanos.

5. Un comerciante perdió 15 000 colones en enero, ganó 8 000 en febrero y perdió 6 000 en marzo. ¿Cuál fue el resultado del trimestre? Pérdidas negativas, ganancias positivas: (−15 000) + 8 000 + (−6 000). Paso a paso: −15 000 + 8 000 = −7 000; −7 000 + (−6 000) = −13 000. Perdió 13 000 colones en el trimestre. Comprobación: perdió en total 15 000 + 6 000 = 21 000 y ganó 8 000; la diferencia es 13 000 en contra.

Los errores que más se cobran

1. No fijar el cero al empezar. Sin un punto de referencia, «bajó 9» no se puede convertir en un número. El cero es una decisión que hay que escribir antes de operar.
2. Cambiar el criterio de signos a mitad del problema. Si bajar es negativo al principio, tiene que ser negativo hasta el final. Este error da resultados que parecen razonables y están mal.
3. Restar al revés en una diferencia. «Cuánto subió» es el valor final menos el inicial, en ese orden. Invertirlo da el mismo número con el signo cambiado, y eso convierte una subida en una bajada.
4. Olvidar que restar un negativo suma. En la diferencia entre 12 °C y −3 °C hay que recorrer los dos tramos, y por eso da 15 y no 9.
5. Entregar el número sin interpretarlo. «−2» no dice nada; «sótano 2» sí. El último paso del problema es volver al contexto.
6. Aceptar un negativo donde no puede haberlo. Si la pregunta es cuántos litros caben o cuántos metros se caminaron, un resultado negativo es una alarma, no una respuesta.

Clave de análisis

Un problema con enteros se arma con tres decisiones y una lectura final.

Las decisiones van antes de cualquier cuenta: dónde está el cero, cuál sentido es el positivo y cómo se traduce cada palabra del enunciado. La tercera sale sola de las dos primeras: si subir es positivo, entonces «bajó 9» es −9, sin más discusión. Por eso no hay que recordar listas de palabras: hay que fijar el criterio y aplicarlo.

La lectura final es interpretar el signo. Un negativo correcto significa que quedaste del otro lado del cero: debiendo, bajo el nivel del mar, bajo cero, en el sótano. Un negativo imposible significa que en algún paso se restó al revés o se cambió el criterio.

Y para las diferencias, acordate de que restar es sumar el opuesto. Esa sola idea explica por qué la distancia entre 12 y −3 es 15 y no 9: hay que recorrer los dos tramos, el que está antes del cero y el que está después. Si la dibujás en la recta, la respuesta aparece sin fórmula.