Proporcionalidad directa e inversa: la regla de tres

Al terminar vas a poder decidir si dos cantidades son directa o inversamente proporcionales antes de operar, aplicar la regla de tres que corresponde y saber por qué se multiplica así, y reconocer cuándo dos cantidades no son proporcionales del todo.

Dos cantidades relacionadas no siempre son proporcionales

Si un kilo de frijoles cuesta 1 800 colones, dos kilos cuestan 3 600 y tres kilos, 5 400. Al doble de kilos, el doble de precio. Esa relación tan pareja se llama proporcionalidad directa.

Pero no toda relación es así. La edad y la estatura están relacionadas y no son proporcionales: nadie mide el doble a los veinte que a los diez. Antes de aplicar cualquier regla hay que verificar que la proporcionalidad exista.

La prueba para la directa es esta: dividí cada valor de una cantidad entre el correspondiente de la otra. Si siempre da el mismo número, son directamente proporcionales, y ese número fijo es la constante de proporcionalidad.

Con los frijoles: 1 800 ÷ 1 = 1 800; 3 600 ÷ 2 = 1 800; 5 400 ÷ 3 = 1 800. Siempre 1 800, que es el precio por kilo.

De ahí sale la fórmula, no al revés: si y ÷ x siempre vale k, entonces y = k · x.

Proporcionalidad inversa: cuando una crece, la otra baja

Ahora pensá en otra situación. Si 4 peones cortan un cafetal en 12 días, con 8 peones se tarda menos. El doble de gente, la mitad del tiempo: 6 días. Con 12 peones, un tercio: 4 días.

Aquí las cantidades se mueven al revés, y la prueba también cambia: en vez de dividir, se multiplica.

4 × 12 = 48. 8 × 6 = 48. 12 × 4 = 48. Siempre 48, que es el total de días-peón que cuesta el trabajo.

En la directa, el cociente se mantiene; en la inversa, el producto se mantiene. Esas dos frases son toda la lección: cada una da su propia regla de tres.

Así que si x · y siempre vale k, entonces y = k ÷ x.

La regla de tres, y por qué se cruza o no se cruza

Con tres datos conocidos y uno desconocido, la regla de tres saca el que falta. Hay dos versiones, y la diferencia no es un capricho de la fórmula: sale de qué es lo que se conserva.

Regla de tres directa. Como el cociente se conserva, se escribe la igualdad de cocientes y se despeja multiplicando en cruz:

Si 3 kilos cuestan 5 400, ¿cuánto cuestan 7 kilos? 3 ÷ 5 400 = 7 ÷ x, y de ahí x = (7 × 5 400) ÷ 3 = 37 800 ÷ 3 = 12 600 colones.

Regla de tres inversa. Como lo que se conserva es el producto, se iguala producto con producto y se multiplica en línea, no en cruz:

Si 4 peones tardan 12 días, ¿cuánto tardan 6 peones? 4 × 12 = 6 × x, de donde x = 48 ÷ 6 = 8 días.

Si te acordás de qué se conserva, no hace falta recordar cuál se cruza: la igualdad se escribe sola.

Tres usos que aparecen todo el tiempo

El porcentaje es una regla de tres directa donde el total corresponde a 100: si el servicio es el 15 % de una cuenta de 24 000, entonces 24 000 ÷ 100 = 240 por cada 1 %, y 240 × 15 = 3 600 colones.

Las escalas de los mapas también son directas.

La velocidad es directa entre distancia y tiempo, e inversa entre velocidad y tiempo para una distancia fija: si un bus a 60 km/h tarda 3 horas, a 90 km/h tarda 60 × 3 ÷ 90 = 2 horas.

Ejemplos resueltos

1. Si 5 cuadernos cuestan 7 500 colones, ¿cuánto cuestan 8? Más cuadernos, más plata: directa. Primero el valor unitario: 7 500 ÷ 5 = 1 500 por cuaderno. Después: 1 500 × 8 = 12 000 colones. Comprobación del cociente: 7 500 ÷ 5 = 1 500 y 12 000 ÷ 8 = 1 500. El mismo. Correcto.

2. Seis pintores pintan una escuela en 10 días. ¿Cuánto tardarían 4 pintores? Menos pintores, más días: inversa. El producto se conserva: 6 × 10 = 60. Entonces 4 × x = 60, y x = 60 ÷ 4 = 15 días. Comprobación: 4 × 15 = 60, igual que 6 × 10.

3. Un carro recorre 240 km con 16 litros. ¿Cuántos litros necesita para 375 km? Más kilómetros, más combustible: directa. Rendimiento: 240 ÷ 16 = 15 km por litro. Entonces 375 ÷ 15 = 25 litros. Comprobación: 25 × 15 = 375 km. Vuelve al dato.

4. Un recibo de 36 000 colones trae un descuento del 12 %. ¿Cuánto se paga? El descuento es una regla de tres directa: 36 000 ÷ 100 = 360 por cada 1 %; 360 × 12 = 4 320 de descuento. Se paga 36 000 − 4 320 = 31 680 colones. Comprobación por el otro camino: pagar con 12 % de descuento es pagar el 88 %. 360 × 88 = 31 680. Coincide.

5. Un tanque se llena con 5 tubos en 8 horas. Si se usan 10 tubos, ¿tarda 16 horas? No. Más tubos, menos tiempo: la relación es inversa. El producto se conserva: 5 × 8 = 40, así que 10 × x = 40 y x = 4 horas. El error de responder 16 viene de aplicar la regla directa a una situación inversa.

Los errores que más se cobran

1. Aplicar la regla de tres sin preguntarse si es directa o inversa. Es el error que decide el resultado entero. La pregunta previa es una sola: si una cantidad sube, ¿la otra sube o baja?
2. Suponer proporcionalidad donde no la hay. Que dos cantidades estén relacionadas no las vuelve proporcionales. Si un bebé pesa 3 kg al nacer, no pesa 6 kg al cumplir dos meses.
3. Multiplicar en cruz en un caso inverso. En la inversa lo que se conserva es el producto, así que la igualdad es producto igual producto. Cruzar ahí da la respuesta al revés.
4. Olvidar que el porcentaje es proporcionalidad directa. Si el total corresponde a 100, todo lo demás sale con una regla de tres.
5. Mezclar unidades distintas. No se puede plantear una proporción con horas en un lado y minutos en el otro. Hay que igualar unidades antes de escribir la igualdad.
6. Confundir «más rápido» con «más tiempo». En los problemas de velocidad, subir la velocidad baja el tiempo. La relación entre velocidad y tiempo, para una distancia fija, es inversa.

Clave de análisis

Todo este tema se sostiene en una sola pregunta y dos frases.

La pregunta va antes de cualquier cuenta: si una cantidad aumenta, ¿la otra aumenta o disminuye? Si aumenta, la relación es directa; si disminuye, es inversa. No hay un tercer caso dentro de este tema, y contestar mal esa pregunta arruina el ejercicio aunque las cuentas estén perfectas.

Las dos frases dan el resto: en la directa se conserva el cociente, en la inversa se conserva el producto. De la primera sale que se iguala cociente con cociente y se multiplica en cruz; de la segunda, que se iguala producto con producto y se multiplica en línea.

Si dudás, buscá la constante con los datos que ya tenés: dividí y mirá si repite, multiplicá y mirá si repite. La que repita nombra el tipo y deja el número con el que se resuelve todo.

Y no te saltés la verificación: la regla de tres solo vale si la proporcionalidad existe.