Estadística y probabilidad
Tablas de frecuencia: cómo organizar los datos
Al terminar vas a poder armar una tabla de frecuencias completa desde una lista revuelta, explicar qué significa cada columna y de dónde sale, y usar las columnas acumuladas para contestar preguntas sin volver a contar los datos.
Una lista revuelta no se puede leer
Imaginate que anotás cuántos hermanos tiene cada estudiante de una sección de sétimo y te queda esto:
2, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 4, 2, 0, 1, 2, 3, 1, 2, 0, 1, 2, 2, 1
Son veinte datos y no se puede decir nada mirándolos. ¿Cuál es el caso más común? ¿Cuántos tienen dos o menos? Con la lista así, cada pregunta obliga a recontar todo.
La tabla de frecuencias resuelve eso de una vez: se cuenta una sola vez, y después todas las preguntas se contestan leyendo la tabla.
Organizar no es adornar. La tabla convierte veinte datos en cinco filas sin perder información: de la tabla se puede reconstruir la lista entera.
Las columnas, una por una y de dónde sale cada una
Una tabla de frecuencias tiene una fila por cada valor distinto de la variable. En el ejemplo, los valores distintos son 0, 1, 2, 3 y 4: cinco filas.
Primera columna: el valor (xᵢ). Los valores distintos, ordenados de menor a mayor. El orden no es estético: sin él, las columnas acumuladas no significan nada.
Segunda columna: la frecuencia absoluta (fᵢ). Cuántas veces aparece ese valor. Se cuenta con rayitas para no perderse. Es un número entero.
Tercera columna: la frecuencia relativa (hᵢ). Qué parte del total representa ese valor: hᵢ = fᵢ ÷ n, donde n es la cantidad total de datos. Sirve para comparar grupos de distinto tamaño: 6 de 20 y 30 de 100 son lo mismo, 0,30, aunque los números crudos sean muy distintos.
Cuarta columna: el porcentaje (%). Es la relativa por 100. Si hᵢ = 0,30, entonces es el 30 %. No es una columna nueva: es la misma información con otro traje.
Quinta columna: la frecuencia acumulada (Fᵢ). Cuántos datos hay hasta ese valor, contando los anteriores. Se construye sumando hacia abajo: la primera acumulada es la primera absoluta, y cada una siguiente es la anterior más la fᵢ de su fila.
La tabla del ejemplo, armada paso a paso
Contamos primero. El 0 aparece 3 veces; el 1, 7 veces; el 2, 7 veces; el 3, 2 veces; el 4, 1 vez.
Control antes de seguir: 3 + 7 + 7 + 2 + 1 = 20, que es la cantidad de datos. Si no diera 20, hay que recontar antes de llenar el resto.
| Hermanos (xᵢ) | fᵢ | hᵢ | % | Fᵢ |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 3 | 0,15 | 15 | 3 |
| 1 | 7 | 0,35 | 35 | 10 |
| 2 | 7 | 0,35 | 35 | 17 |
| 3 | 2 | 0,10 | 10 | 19 |
| 4 | 1 | 0,05 | 5 | 20 |
| Total | 20 | 1,00 | 100 | — |
Cada relativa salió de dividir: 3 ÷ 20 = 0,15; 7 ÷ 20 = 0,35; 2 ÷ 20 = 0,10; 1 ÷ 20 = 0,05.
Cada acumulada salió de sumar hacia abajo: 3; 3 + 7 = 10; 10 + 7 = 17; 17 + 2 = 19; 19 + 1 = 20.
Hay dos controles que no fallan: las fᵢ suman n, y las hᵢ suman 1. Y la última acumulada tiene que ser n, porque al llegar al valor más grande ya se contaron todos los datos. Si alguno de los tres no cierra, la tabla está mala.
Leer la tabla sin volver a la lista
Con la tabla hecha, las preguntas se contestan de un vistazo, y cada columna sirve para un tipo distinto de pregunta.
Si la pregunta es «¿cuántos tienen exactamente 3 hermanos?», se lee fᵢ: 2.
Si la pregunta es «¿cuántos tienen 2 hermanos o menos?», se lee Fᵢ en la fila del 2: 17. Eso es exactamente para lo que existe la columna acumulada: evita sumar 3 + 7 + 7 cada vez.
Si la pregunta es «¿qué porcentaje tiene más de 2 hermanos?», se usa el complemento. Hasta 2 hay 17 de 20, así que más de 2 hay 20 − 17 = 3, y 3 ÷ 20 = 0,15, o sea 15 %. También se podía sumar 10 % + 5 %, que da lo mismo.
Y la moda se lee directo: es el valor con mayor fᵢ. Aquí hay empate entre 1 y 2, los dos con 7, así que la distribución es bimodal.
Ejemplos resueltos
1. En una tabla de 25 datos, un valor tiene fᵢ = 5. ¿Cuál es su frecuencia relativa y su porcentaje? hᵢ = 5 ÷ 25 = 0,2. Porcentaje = 0,2 × 100 = 20 %. Comprobación: si el 20 % de 25 es 5, la cuenta cierra, porque 25 × 0,2 = 5.
2. Una tabla tiene frecuencias 4, 6, 9, 3. Construí la columna acumulada. 4; 4 + 6 = 10; 10 + 9 = 19; 19 + 3 = 22. La última acumulada es 22 y el total de datos es 4 + 6 + 9 + 3 = 22. Coinciden, así que está bien.
3. En la tabla de hermanos, ¿cuántos estudiantes tienen al menos 1 hermano? «Al menos 1» es todos menos los que tienen 0. De la acumulada del 0 sale que 3 tienen cero, así que 20 − 3 = 17. Comprobación sumando: 7 + 7 + 2 + 1 = 17.
4. Las relativas de una tabla son 0,25; 0,30; 0,15 y la última está borrada. ¿Cuánto vale? Las relativas suman 1. Sumadas las tres conocidas: 0,25 + 0,30 + 0,15 = 0,70. Falta 1 − 0,70 = 0,30.
5. En un grupo de 40 personas, el 35 % prefiere el café negro. ¿Cuál es la frecuencia absoluta? La relativa es 0,35. Como hᵢ = fᵢ ÷ n, entonces fᵢ = hᵢ × n = 0,35 × 40 = 14 personas. Comprobación: 14 ÷ 40 = 0,35. Vuelve.
Los errores que más se cobran
- Poner una fila por cada dato en vez de por cada valor distinto. La tabla resume: veinte datos con cinco valores distintos dan cinco filas. Si hay veinte filas, no se resumió nada.
- No ordenar la primera columna. Sin orden, la columna acumulada deja de significar «hasta este valor» y se vuelve una suma sin sentido.
- Dividir la relativa entre la cantidad de filas. Se divide entre n, el total de datos. La cantidad de filas es cuántos valores distintos hay, que es otra cosa.
- Confundir la frecuencia absoluta con la acumulada. La fᵢ contesta «exactamente este valor»; la Fᵢ contesta «este valor o menos». Usar una por la otra cambia toda la respuesta.
- Escribir la relativa como si fuera porcentaje. 0,35 y 35 % son lo mismo, pero 0,35 % no: eso es menos de medio por ciento. El signo de porcentaje exige haber multiplicado por 100.
- No revisar los totales. Si las fᵢ no suman n, o las hᵢ no suman 1, el error ya está adentro y todo lo que se lea de la tabla va a estar mal.
Clave de análisis
La tabla de frecuencias no es un formato que haya que recordar: es la respuesta a cuatro preguntas en orden. ¿Qué valores hay? Esa es la primera columna, ordenada. ¿Cuántas veces aparece cada uno? Esa es fᵢ, que se obtiene contando. ¿Qué parte del total es eso? Esa es hᵢ, que se obtiene dividiendo entre n, y en porcentaje se multiplica por 100. ¿Cuántos van hasta aquí? Esa es Fᵢ, que se obtiene sumando hacia abajo.
Si se te olvida cómo era una columna, mirá qué pregunta contesta y la operación aparece sola: contar da absolutas, dividir entre el total da relativas, sumar hacia abajo da acumuladas.
Y dejá siempre los tres controles corriendo: las absolutas suman n, las relativas suman 1 y la última acumulada es n. Son tres oportunidades de descubrir un error antes de que arrastre todo el ejercicio.