Una misma relación en tabla, gráfico y fórmula
Al terminar vas a poder pasar una misma relación de tabla a fórmula y de fórmula a gráfico, leer en un gráfico lo que en la tabla es una columna, y decidir cuál de las tres representaciones conviene según lo que se pregunta.
Una relación, tres maneras de mostrarla
Una relación conecta dos cantidades que cambian juntas: los minutos que hablás por teléfono y lo que pagás, los kilos de arroz y el precio, las horas trabajadas y el salario.
Esa misma relación se puede mostrar de tres formas, y ninguna es «la buena»: cada una muestra bien algo que las otras esconden.
| Representación | Qué muestra bien | Qué cuesta ver |
|---|---|---|
| Tabla | Valores exactos, uno por uno | La tendencia general |
| Gráfico | Si sube, baja o se mantiene | El valor exacto de un punto |
| Fórmula | La regla que vale para todos los casos | Un caso concreto, hasta calcularlo |
Lo que no cambia entre las tres es la relación. Cambia el traje, no la persona. Por eso lo que se lee en una tiene que coincidir con lo que se lee en las otras.
De la tabla a la fórmula: buscar qué se repite
Mirá esta tabla de una soda que cobra por casado:
| Casados (x) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Precio (y) | 2 800 | 5 600 | 8 400 | 11 200 | 14 000 |
Para encontrar la fórmula se buscan dos cosas: qué pasa al avanzar de una columna a la siguiente, y qué relación hay entre x e y.
Entre columnas: de 2 800 a 5 600 se suman 2 800; de 5 600 a 8 400, otra vez 2 800. El aumento es constante, y eso avisa de que la relación es lineal.
Dentro de cada columna: 2 800 ÷ 1 = 2 800; 5 600 ÷ 2 = 2 800; 8 400 ÷ 3 = 2 800. El cociente también es constante.
Cuando el cociente se repite, la relación es directamente proporcional y la fórmula es y = 2 800 · x.
Comprobación obligatoria: probá la fórmula con una fila que no usaste. Para x = 5: 2 800 × 5 = 14 000, que es lo que dice la tabla.
Cuando hay un cobro fijo, el cociente ya no se repite
Ahora una tabla de un taxi que cobra 700 de banderazo y 500 por kilómetro:
| Kilómetros (x) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Precio (y) | 700 | 1 200 | 1 700 | 2 200 | 2 700 |
El aumento entre columnas sigue siendo constante: 500 cada vez. Pero el cociente no se repite: 1 200 ÷ 1 = 1 200, mientras que 1 700 ÷ 2 = 850.
La diferencia está en el valor de arranque. Cuando x = 0, y no vale 0: vale 700. Ese es el cobro fijo, y hay que sumarlo aparte:
y = 500 · x + 700
Comprobación con x = 3: 500 × 3 + 700 = 1 500 + 700 = 2 200. Coincide con la tabla.
Eso separa dos casos parecidos: si con x = 0 la otra cantidad vale 0, la relación es proporcional y la fórmula es y = k · x; si hay un valor de arranque, la fórmula lleva ese sumando.
Del gráfico a lo demás: qué se lee en el dibujo
En el gráfico, cada pareja de la tabla es un punto: la primera cantidad en el eje horizontal y la segunda en el vertical.
Tres cosas se leen de un vistazo:
Dónde corta el eje vertical. Es el valor cuando x = 0, o sea el cobro fijo. Si la línea arranca en el origen, no hay cobro fijo y la relación es proporcional.
Qué tan inclinada va. Cuanto más sube por cada paso a la derecha, más grande es el número que multiplica a x: una línea más parada es un precio por unidad más alto.
Si sube o baja. Una línea horizontal significa que y no cambia.
En una relación con aumento constante, los puntos quedan alineados. Si en un gráfico los puntos no están alineados, el aumento no es constante y la fórmula no es de esta forma.
Ejemplos resueltos
1. Una tabla da: x = 1, y = 6; x = 2, y = 12; x = 3, y = 18. Escribí la fórmula. Cociente: 6 ÷ 1 = 6; 12 ÷ 2 = 6; 18 ÷ 3 = 6. Constante, así que es proporcional: y = 6 · x. Comprobación con un valor nuevo: para x = 4 debería dar 24, y efectivamente el patrón de la tabla sube de 6 en 6.
2. Una tabla da: x = 0, y = 50; x = 1, y = 80; x = 2, y = 110. Escribí la fórmula. El aumento es constante: 30 por paso. El valor de arranque, en x = 0, es 50. Entonces y = 30 · x + 50. Comprobación con x = 2: 30 × 2 + 50 = 60 + 50 = 110. Coincide.
3. Con la fórmula y = 500 · x + 700 del taxi, ¿cuánto cuesta un viaje de 9 km? y = 500 × 9 + 700 = 4 500 + 700 = 5 200 colones.
4. Con esa misma fórmula, ¿cuántos kilómetros se recorrieron si se pagaron 4 200 colones? Aquí se va al revés, deshaciendo operaciones. Primero se quita el fijo: 4 200 − 700 = 3 500. Después se deshace el producto: 3 500 ÷ 500 = 7 km. Comprobación hacia adelante: 500 × 7 + 700 = 4 200.
5. Dos rectas arrancan en el mismo punto del eje vertical, pero una va más inclinada. ¿Qué significa? Que el valor de arranque es el mismo —el mismo cobro fijo— pero la más inclinada crece más rápido: en taxis, mismo banderazo y kilómetro más caro.
Los errores que más se cobran
- Sacar la fórmula mirando una sola fila de la tabla. Con una fila cualquier fórmula «funciona». La regla tiene que cumplirse en todas las filas, y por eso se comprueba con una que no se usó para armarla.
- Usar y = k · x cuando hay un valor fijo. Si en x = 0 el valor no es 0, hay un sumando aparte. El error se detecta porque el cociente y ÷ x no se repite.
- Invertir los ejes al graficar. La primera cantidad va en el horizontal y la segunda en el vertical; cambiarlos lleva a leer mal la inclinación.
- Creer que todo gráfico de puntos es una recta. Solo si el aumento es constante. Si los puntos se curvan, la relación es de otro tipo y la fórmula lineal no sirve.
- Leer valores exactos en un gráfico. El gráfico muestra la tendencia; los valores exactos están en la tabla o salen de la fórmula.
- Olvidar deshacer las operaciones en orden inverso. Para pasar de y a x hay que quitar primero el sumando fijo y después dividir. Hacerlo al revés da otro número.
Clave de análisis
Las tres representaciones no son tres temas: son tres vistas de una misma relación, y se pasa de una a otra con dos preguntas.
La primera: ¿cuánto cambia y cada vez que x avanza uno? Ese número es el que multiplica a x en la fórmula, y en el gráfico es lo que inclina la línea. Si ese cambio no es constante, la relación no es lineal y ninguna de estas fórmulas sirve.
La segunda: ¿cuánto vale y cuando x vale 0? Si vale 0, la relación es proporcional y la fórmula es y = k · x. Si vale otra cosa, ese número es el arranque, se suma aparte, y en el gráfico es el punto donde la línea corta el eje vertical.
Con esas dos preguntas, la tabla te da la fórmula, la fórmula te da cualquier valor, y el gráfico muestra las dos respuestas: dónde arranca y qué tan rápido sube.
La comprobación es siempre la misma: lo que dice una representación tiene que coincidir con las otras dos. Si no coinciden, el error está en el cambio de traje, no en la relación.