Sucesiones: cómo encontrar el patrón

Al terminar vas a poder descubrir el patrón de una sucesión probando dos operaciones en orden, escribir la regla que da cualquier término sin listar todos los anteriores, y distinguir una sucesión aritmética de una geométrica.

Una sucesión es una lista con regla

Una sucesión es una lista ordenada de números donde cada uno ocupa un lugar: el primero, el segundo, el tercero. Ese lugar se llama posición y se numera con n.

Lo que convierte una lista en sucesión es que haya una regla: cómo se pasa de un término al siguiente, o cómo se calcula cualquier término desde su posición. Sin regla hay números sueltos.

Por eso el trabajo del estudiante no es adivinar el número que sigue: es encontrar la regla, y después el número sale solo.

Dos preguntas descubren casi cualquier patrón

Frente a una sucesión desconocida se prueban dos cosas, y siempre en este orden.

Primera pregunta: ¿qué se le SUMA a cada término para llegar al siguiente? Calculá las diferencias.

En 3, 7, 11, 15, 19: las diferencias son 7 − 3 = 4; 11 − 7 = 4; 15 − 11 = 4. Siempre 4. Cuando la diferencia es constante, la sucesión es aritmética y ese número fijo se llama diferencia común.

Segunda pregunta: si la diferencia no es constante, ¿por cuánto se MULTIPLICA? Calculá los cocientes.

En 2, 6, 18, 54: las diferencias son 4, 12, 36, que no sirven. Pero los cocientes son 6 ÷ 2 = 3; 18 ÷ 6 = 3; 54 ÷ 18 = 3. Siempre 3. Cuando el cociente es constante, la sucesión es geométrica y ese número se llama razón.

Primero probá restando; si no da constante, probá dividiendo. Ese orden resuelve la enorme mayoría de las sucesiones de este nivel, y cuando ninguna de las dos da constante, el patrón es de otra clase y hay que mirar la forma de los números.

De la regla recursiva a la regla general

Decir «se le suman 4 al anterior» es una regla recursiva: sirve, pero para llegar al término 50 habría que calcular los 49 anteriores.

La regla general da cualquier término directamente desde su posición, y para una sucesión aritmética se deduce contando saltos.

Volvamos a 3, 7, 11, 15, 19. El primer término es 3. Para llegar al segundo se dio 1 salto de 4; al tercero, 2 saltos; al cuarto, 3 saltos. Siempre una menos que la posición, porque desde el primero al primero no hay que saltar.

Entonces el término de la posición n es 3 + (n − 1) · 4.

Se puede escribir más corto desarrollando: 3 + 4n − 4 = 4n − 1.

Comprobación con los datos que ya teníamos: para n = 1, 4(1) − 1 = 3; para n = 3, 4(3) − 1 = 11; para n = 5, 4(5) − 1 = 19. Los tres coinciden con la lista.

Con la regla general, el término 50 sale en un paso: 4(50) − 1 = 200 − 1 = 199.

La estructura siempre es la misma: primer término más (posición menos uno) por la diferencia común. No es una fórmula prestada: es contar cuántos saltos hubo.

Sucesiones que no son de números

El patrón también puede estar en figuras. Si la primera figura se arma con 5 palillos, la segunda con 9 y la tercera con 13, las diferencias son 4 y 4: es aritmética con diferencia 4, y la regla general es 5 + (n − 1) · 4 = 4n + 1.

Y hay patrones de otra clase, como los cuadrados perfectos 1, 4, 9, 16, 25: las diferencias son 3, 5, 7, 9 —no constantes— pero cada término es la posición al cuadrado, n². Cuando las diferencias crecen de manera regular, conviene mirar si los términos son cuadrados.

Ejemplos resueltos

1. Encontrá el patrón y los dos términos siguientes de 8, 15, 22, 29. Diferencias: 15 − 8 = 7; 22 − 15 = 7; 29 − 22 = 7. Es aritmética con diferencia 7. Siguientes: 29 + 7 = 36 y 36 + 7 = 43.

2. Escribí la regla general de 8, 15, 22, 29 y usala para hallar el término 20. Primer término 8, diferencia 7: 8 + (n − 1) · 7 = 8 + 7n − 7 = 7n + 1. Comprobación: n = 1 da 8; n = 4 da 29. Correcto. Término 20: 7(20) + 1 = 140 + 1 = 141.

3. Clasificá la sucesión 5, 10, 20, 40, 80 y hallá el término siguiente. Diferencias: 5, 10, 20, 40. No son constantes. Cocientes: 10 ÷ 5 = 2; 20 ÷ 10 = 2; 40 ÷ 20 = 2. Es geométrica con razón 2. Siguiente: 80 × 2 = 160.

4. Una sucesión aritmética empieza en 100 y baja de 6 en 6. ¿Cuál es el término 12? La diferencia común es −6, porque baja. Regla: 100 + (n − 1) · (−6). Para n = 12: 100 + 11 · (−6) = 100 − 66 = 34. Comprobación contando: del término 1 al 12 hay 11 saltos de 6 hacia abajo, o sea 66. 100 − 66 = 34.

5. Un tanque tiene 500 litros y se le sacan 35 cada hora. ¿Cuántos litros quedan después de 8 horas? Es una sucesión aritmética con primer valor 500 y diferencia −35. Después de 8 horas hubo 8 salidas: 500 − 8 × 35 = 500 − 280 = 220 litros. Fijate en la diferencia con el caso anterior: aquí se cuentan horas transcurridas, no posiciones en una lista, así que son 8 saltos completos y no 7.

Los errores que más se cobran

1. Adivinar el siguiente número sin comprobar el patrón. Un patrón que funciona entre dos términos puede fallar entre otros: probalo en todos los pares.
2. Probar solo la resta y rendirse. Si las diferencias no son constantes, falta la segunda prueba: los cocientes. Muchas sucesiones que parecen imposibles son geométricas.
3. Usar n en vez de n − 1 en la regla general. Del primer término al término n hay n − 1 saltos, no n. Poner n de más corre toda la sucesión un lugar.
4. Olvidar el signo de la diferencia en una sucesión que baja. Si la sucesión decrece, la diferencia común es negativa y la regla general la lleva con su signo.
5. Confundir aritmética con geométrica porque «va creciendo». Las dos crecen. Lo que las separa es cómo: la aritmética suma siempre lo mismo y crece parejo; la geométrica multiplica y se dispara.
6. Dar la regla sin comprobarla. La comprobación es gratis: meté n = 1 y n = 3 y mirá si salen los términos que ya tenés. Si no salen, la regla está mal armada.

Clave de análisis

Encontrar un patrón no es cuestión de inspiración: es un procedimiento de dos pruebas en orden. Primero restá términos consecutivos; si la diferencia se repite, la sucesión es aritmética y esa diferencia es lo que la gobierna. Si no se repite, dividí; si el cociente se repite, es geométrica y esa razón es lo que la gobierna. Solo cuando ninguna de las dos da constante conviene mirar la forma de los números, por ejemplo si son cuadrados.

La regla general de una sucesión aritmética no hay que buscarla en ninguna parte: se cuenta. Desde el primer término hasta el de la posición n se dan n − 1 saltos, y cada salto vale la diferencia común. Por eso el término n es el primero más (n − 1) por la diferencia, y por eso el −1 aparece siempre. Si se te olvida, escribí los primeros cuatro términos, contá los saltos y la fórmula vuelve a salir.

Y comprobá al final: una regla general tiene que devolver los términos que ya estaban en la lista. Si devuelve otros, el error está en el conteo de saltos o en el signo de la diferencia.