Triángulos: clasificación y propiedades

Al terminar vas a poder clasificar un triángulo por lados y por ángulos sin confundir las dos listas, deducir por qué los ángulos internos suman 180°, y decidir si tres medidas dadas pueden formar un triángulo o no.

Un triángulo se describe por dos caminos distintos

El triángulo es el polígono de tres lados, tres vértices y tres ángulos internos. Es la figura más rígida que hay: con tres varillas de largos fijos solo se puede armar una forma, y por eso las estructuras de los techos y los puentes se arman con triángulos.

Para describir un triángulo hay dos preguntas independientes: ¿cómo son sus lados? y ¿cómo son sus ángulos? Las dos clasificaciones conviven, y todo triángulo tiene un nombre en cada lista. No son listas rivales: son dos maneras de mirar la misma figura.

Por lados: cuántos lados iguales tiene

La pregunta es cuántos lados miden lo mismo, y solo hay tres respuestas posibles: tres, dos o ninguno.

• Equilátero: los tres lados congruentes.
• Isósceles: dos lados congruentes (los otros dos vértices se llaman base).
• Escaleno: ningún par de lados congruentes.

Y aquí aparece la propiedad más útil del tema: a lados congruentes se oponen ángulos congruentes. En un isósceles, los dos ángulos pegados a la base miden lo mismo. En un equilátero, los tres ángulos miden lo mismo, y como tienen que sumar 180°, cada uno mide 180 ÷ 3 = 60°. Ese dato no se aprende aparte: se calcula.

Por ángulos: dónde cae el ángulo más grande

La pregunta es qué clase de ángulo es el mayor de los tres.

• Acutángulo: los tres ángulos agudos (menores que 90°).
• Rectángulo: tiene un ángulo recto (90°). Los lados que lo forman son los catetos y el lado de enfrente, el más largo, es la hipotenusa.
• Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso (mayor que 90°).

Un triángulo no puede tener dos ángulos rectos ni dos obtusos. Dos de 90° ya suman 180° y no quedaría nada para el tercero. Por eso las tres categorías se definen por el ángulo mayor, que es único.

Por qué los tres ángulos suman 180°

Este es el dato que más se usa en todo el curso, y tiene una razón que se ve.

Tomá un triángulo de papel con ángulos a, b y c. Arrancá las tres esquinas y pegalas una al lado de la otra, haciendo coincidir los vértices en un solo punto. Los tres juntos forman una línea recta. Y una línea recta es un ángulo llano, que mide 180°.

De ahí sale a + b + c = 180°, y de ahí salen casi todos los ejercicios: si conocés dos ángulos, el tercero es 180 menos la suma de los otros dos. No hay más.

La desigualdad triangular: no cualquier trío forma triángulo

Probá con tres pajillas de 3 cm, 4 cm y 10 cm. No se puede cerrar el triángulo: las dos cortas juntas miden 7 cm y no alcanzan a tocarse por encima de la de 10 cm.

De ahí sale la desigualdad triangular: cada lado tiene que ser menor que la suma de los otros dos. Si un lado es igual o mayor que esa suma, los dos lados cortos quedan aplastados sobre el largo o no llegan, y no hay figura.

En la práctica alcanza con probar el lado mayor contra la suma de los otros dos: si ese pasa, los demás pasan solos, porque cualquier otro lado es menor que el mayor y la suma con la que se compara es mayor.

Ejemplos resueltos

1. Un triángulo tiene ángulos de 40° y 75°. ¿Cuánto mide el tercero y cómo se clasifica por ángulos? Los tres suman 180°: 40 + 75 = 115, y 180 − 115 = 65°. Los tres ángulos (40, 75 y 65) son menores que 90°, así que es acutángulo. Comprobación: 40 + 75 + 65 = 180.

2. En un triángulo isósceles, el ángulo distinto mide 50°. ¿Cuánto miden los otros dos? Los dos ángulos de la base son congruentes, así que llamémoslos x cada uno. Entonces 50 + x + x = 180, o sea 2x = 180 − 50 = 130, y x = 130 ÷ 2 = 65° cada uno. Comprobación: 50 + 65 + 65 = 180.

3. ¿Se puede formar un triángulo con lados de 5 cm, 6 cm y 12 cm? Reviso el lado mayor, 12, contra la suma de los otros dos: 5 + 6 = 11. Como 12 es mayor que 11, los dos lados cortos no alcanzan a juntarse. No se puede.

4. Un triángulo rectángulo tiene un ángulo agudo de 32°. ¿Cuánto mide el otro ángulo agudo? El ángulo recto se lleva 90°, así que a los dos agudos les quedan 180 − 90 = 90°. Entonces el otro mide 90 − 32 = 58°. Fijate en lo que esto significa: en todo triángulo rectángulo los dos ángulos agudos son complementarios, y eso no es una regla nueva: sale de restarle 90 a 180.

5. Clasificá por lados y por ángulos un triángulo con lados de 7 cm, 7 cm y 7 cm. Por lados: los tres congruentes, equilátero. Por ángulos: si los tres lados son congruentes, los tres ángulos también, y como suman 180°, cada uno mide 180 ÷ 3 = 60°. Los tres son agudos, así que es acutángulo. Conclusión que vale siempre: todo equilátero es acutángulo, y no hace falta medir para saberlo.

Los errores que más se cobran

1. Mezclar las dos clasificaciones. «Isósceles» habla de lados y «rectángulo» habla de ángulos. Un triángulo puede ser isósceles y rectángulo a la vez, y eso no es contradicción: son dos preguntas distintas.
2. Creer que el equilátero es una categoría aparte del isósceles. Muchos textos consideran al equilátero como un isósceles con los tres lados iguales, porque cumple de sobra la condición de tener dos congruentes. Lo importante es no negarlo cuando se pide contar lados congruentes.
3. Aceptar cualquier trío de medidas como triángulo. Antes de calcular nada hay que revisar la desigualdad triangular. Si el lado mayor llega o pasa la suma de los otros dos, no hay figura que dibujar.
4. Sumar los ángulos y que den otra cosa que 180°. Si te da 175 o 190, hay un error de cuenta. La suma de 180° no es negociable: viene de que las tres esquinas juntas forman un ángulo llano.
5. Poner la hipotenusa en el lugar equivocado. La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, y siempre es el más largo, porque se opone al ángulo mayor.
6. Buscar un triángulo con dos ángulos obtusos. Dos ángulos de más de 90° ya pasan de 180° entre los dos, y aún faltaría el tercero. Por eso el ángulo mayor es uno solo y la clasificación por ángulos nunca es ambigua.

Clave de análisis

Todo el tema se sostiene en una sola igualdad y una sola desigualdad. La igualdad es a + b + c = 180°, que no hay que aceptar a ciegas: las tres esquinas del triángulo, juntadas en un punto, forman una línea recta. Con ella se saca cualquier ángulo que falte y se demuestran de un tirón que el equilátero tiene ángulos de 60° y que los dos agudos de un rectángulo son complementarios.

La desigualdad es el lado mayor tiene que ser menor que la suma de los otros dos, y también se ve: si no lo es, las dos varillas cortas no llegan a tocarse.

Para clasificar, en vez de recordar seis nombres, hacete dos preguntas separadas. Por lados: ¿cuántos son congruentes? Tres, dos o ninguno dan equilátero, isósceles y escaleno. Por ángulos: ¿cómo es el mayor? Agudo, recto u obtuso dan acutángulo, rectángulo y obtusángulo.

Y el puente entre las dos listas es una frase que vale la pena tener presente: a lados congruentes se oponen ángulos congruentes. Con eso, saber algo de los lados te dice algo de los ángulos, y al revés.