Vistas y desarrollo plano de los sólidos

Al terminar vas a poder dibujar las vistas de frente, de lado y de arriba de un sólido, reconocer a qué cuerpo pertenece un desarrollo plano, y decidir si una red de caras se puede plegar o no antes de intentarlo.

Dos maneras de pasar de tres dimensiones a dos

Un sólido tiene largo, ancho y alto; una hoja de papel tiene dos dimensiones. Para representar un cuerpo en el papel hay dos recursos, y cada uno sirve para algo distinto.

Las vistas miran el cuerpo desde afuera en tres direcciones fijas. Es lo que hace un plano de construcción: el cuerpo queda armado y uno se mueve alrededor.

El desarrollo plano (o red) es lo contrario: el cuerpo se desarma y se estira sobre la mesa, como cuando abrís una caja de cereal por las pestañas.

Las vistas dicen cómo se ve por fuera; el desarrollo dice de qué piezas está hecho. Por eso el desarrollo es el que sirve para calcular cuánto cartón se necesita, y las vistas, para saber dónde va cada cosa.

Las tres vistas y por qué son esas tres

Un cuerpo se puede mirar desde infinitas direcciones, pero el dibujo técnico usa tres: las direcciones perpendiculares entre sí, una por cada dimensión.

• Vista frontal: mirando de frente. Muestra el ancho y el alto.
• Vista lateral: mirando desde un costado. Muestra el fondo y el alto.
• Vista superior o planta: mirando desde arriba. Muestra el ancho y el fondo.

Cada vista deja fuera una dimensión: la que va en la dirección en que estás mirando, porque esa se aplasta. Por eso hacen falta las tres para reconstruir el cuerpo: entre las tres aparecen las tres dimensiones, y cada una aparece dos veces.

Dos reglas hacen que las vistas se entiendan sin explicaciones:

• Se dibujan en verdadera magnitud, sin perspectiva: las paralelas siguen paralelas y las medidas se conservan.
• Las medidas coinciden entre vistas. El ancho de la frontal es el mismo que el de la superior, porque es la misma dimensión vista desde otro lado. Esa coincidencia comprueba el dibujo.

Con un cubo, las tres vistas son tres cuadrados iguales. Con una pirámide de base cuadrada, la superior es un cuadrado con las diagonales marcadas —las aristas que bajan del vértice— y las otras dos son triángulos.

El desarrollo plano: cuántas caras y de qué forma

Desarmar un cuerpo y estirarlo deja a la vista todas sus caras en su forma real. Por eso el desarrollo permite calcular el área total: se suman las áreas de las piezas. Para reconocer un desarrollo hay que contestar dos cosas: cuántas caras y de qué forma.

Fijate en el cilindro, que es el que más sorprende. Si le despegás las dos tapas y le hacés un corte vertical al costado, ese costado se abre y queda un rectángulo cuyo largo es exactamente la circunferencia de la tapa, porque era lo que la rodeaba.

Un mismo cuerpo tiene varios desarrollos distintos: lo que cambia es por dónde se cortó.

Cómo saber si una red se puede plegar

Antes de doblar nada, se revisan tres cosas, y cada una descarta un error típico:

1. El número de caras. Si el cubo necesita 6 cuadrados y la red tiene 7, sobra una y va a quedar traslapada.
2. La forma de cada cara. Una pirámide cuadrangular lleva un cuadrado, no dos: la punta no tiene base.
3. Que los lados que se van a pegar midan lo mismo. Dos caras solo se unen si comparten una arista de igual longitud. Si un rectángulo mide 5 de un lado y el vecino 7, ahí queda un hueco.

Ejemplos resueltos

1. ¿Cuáles son las tres vistas de un cilindro parado sobre su base? Frontal: un rectángulo, porque de frente se ve la altura y el diámetro. Lateral: el mismo rectángulo, porque el cilindro se ve igual desde cualquier costado. Superior: un círculo, porque desde arriba se ve la tapa.

2. Una red tiene un cuadrado y cuatro triángulos. ¿Qué cuerpo arma? Una pirámide de base cuadrada. El cuadrado es la base y los cuatro triángulos son las caras laterales, una por cada lado de la base. Son cuatro triángulos justamente porque el cuadrado tiene cuatro lados.

3. Un desarrollo tiene dos círculos y un rectángulo. ¿Qué cuerpo es y qué mide el largo del rectángulo? Es un cilindro. Los dos círculos son las tapas y el rectángulo es la superficie lateral desenrollada. Su largo es la circunferencia de la tapa, porque ese rectángulo, enrollado, tiene que cerrar justo alrededor del círculo.

4. Un prisma rectangular mide 5 cm por 3 cm por 2 cm. ¿Cuántas caras tiene su desarrollo y cómo son? Seis caras, congruentes de dos en dos, porque las caras opuestas de un prisma son iguales: dos de 5 × 3, dos de 5 × 2 y dos de 3 × 2. Comprobación del área total: 2 · 15 + 2 · 10 + 2 · 6 = 30 + 20 + 12 = 62 cm².

5. Desde arriba, un cuerpo se ve como un círculo, y de frente como un triángulo. ¿Qué es? Un cono parado sobre su base. Desde arriba se ve el borde circular de la base; de frente, la silueta que sube de los dos extremos de la base hasta el vértice, que es un triángulo.

Los errores que más se cobran

1. Dibujar las vistas con perspectiva. La vista es una proyección plana: no lleva profundidad ni líneas que se achican. Si se dibuja «en tres dimensiones», deja de ser una vista.
2. Dar solo una vista y creer que basta. Cada vista aplasta una dimensión. Un cilindro y un prisma pueden verse igual de frente y ser cuerpos distintos.
3. Olvidar las tapas del cilindro. Es el error clásico del área total: se calcula el rectángulo lateral y se entrega sin los dos círculos. En el desarrollo estirado se ven las tres piezas.
4. Poner dos bases en una pirámide. La pirámide termina en un vértice, así que lleva una sola base. Dos bases es prisma.
5. Creer que cada cuerpo tiene un único desarrollo. Depende de por dónde se corte: que tu red no sea igual a la del libro no la vuelve incorrecta.
6. No revisar que las aristas que se pegan midan lo mismo. Una red con caras correctas pero lados desparejos no cierra. La red es un rompecabezas donde las piezas vecinas comparten borde.

Clave de análisis

Las dos representaciones se rearman con dos preguntas distintas. Para las vistas: ¿qué dimensión se pierde al mirar desde ahí? De frente se pierde el fondo, desde el lado se pierde el ancho, desde arriba se pierde el alto. Por eso son tres vistas y no dos ni cinco: hay tres dimensiones y cada vista sacrifica una. Y por eso las medidas tienen que coincidir entre vistas, porque cada dimensión aparece en dos de ellas.

Para el desarrollo: ¿de qué piezas está hecho? Contá caras y describí su forma. Un prisma lleva dos bases iguales y tantos rectángulos como lados tenga la base; una pirámide, una base y tantos triángulos como lados tenga la base. Esa sola diferencia separa las dos familias y explica por qué el prisma se abre en rectángulos y la pirámide en triángulos.

Y si dudás con el cilindro, pensá en la etiqueta de una lata: se despega y queda un rectángulo cuyo largo es lo que rodeaba la lata.