Razonamiento matemático
Cómo sacar conclusiones seguras y encontrar el patrón de una sucesión
Al terminar vas a poder decidir qué conclusión se puede asegurar a partir de unas premisas, encontrar la regla de una sucesión aunque mezcle signos, fracciones o dos patrones a la vez, y usar las propiedades de los números para contestar sin hacer la cuenta completa.
Qué pide esta parte de la prueba
La guía oficial del Sistema Nacional de Colegios Científicos dice que la prueba mide habilidades y no conocimientos. En razonamiento inductivo y deductivo eso significa dos cosas distintas:
- Deducir: partir de unas afirmaciones que se dan por ciertas (las premisas) y ver qué otra afirmación se sigue de ellas con certeza. No lo que es probable ni lo que suena razonable: solo lo que no puede ser falso si las premisas son verdaderas.
- Inducir: mirar varios casos —los primeros términos de una sucesión, los primeros resultados de una operación— y descubrir la regla que los produce, para aplicarla a un caso lejano, como el término 20 o la última cifra de una potencia grande.
La prueba es sin calculadora. Por eso casi nunca pide hacer la cuenta larga: pide ver la regla.
Deducir: el «si…, entonces…» funciona en una sola dirección
La mayoría de los ítems deductivos usan frases condicionales: «Si llueve en Turrialba, entonces el partido se suspende». Esa frase dice algo muy preciso:
- Cuando llueve, el partido se suspende. Siempre.
- No dice qué pasa cuando no llueve. El partido se puede suspender por otra razón: un apagón, un árbol caído.
De ahí salen dos formas válidas de razonar y dos trampas:
| Sabemos que… | ¿Qué se puede concluir? | ¿Es válido? |
|---|---|---|
| Llovió | El partido se suspendió | Sí |
| El partido no se suspendió | No llovió | Sí: si hubiera llovido, se habría suspendido |
| El partido se suspendió | Llovió | No: pudo ser por otra causa |
| No llovió | El partido no se suspendió | No: la frase no dice nada de ese caso |
La segunda fila es la que más se usa en la prueba. Se llama contrarrecíproco: «si P, entonces Q» equivale a «si no Q, entonces no P». Cuando una premisa te dice que algo no pasó, buscá la condicional que lo tiene a la derecha del «entonces» y recorrela hacia atrás.
Deducir con «todos», «algunos» y «ninguno»
La otra familia de premisas habla de grupos:
- «Todos los estudiantes del club de robótica llevan matemática avanzada.»
- «Algunos que llevan matemática avanzada juegan fútbol.»
¿Se puede concluir que algún estudiante de robótica juega fútbol? No. Los que juegan fútbol pueden ser justamente los de matemática avanzada que no están en robótica. «Algunos» no dice cuáles.
La forma segura de revisarlo es imaginar un caso donde las premisas se cumplen y la conclusión falla. Si podés armar ese caso, la conclusión no se puede asegurar. Si no hay manera de armarlo, la conclusión es válida.
Inducir: encontrar la regla de una sucesión
Ante una sucesión, probá en este orden. Casi siempre la regla aparece en uno de los primeros pasos.
- Restá cada término del anterior. Si la diferencia es siempre la misma, la sucesión es aritmética: 4, 11, 18, 25… suma 7 cada vez, y el término n es 4 + 7·(n − 1).
- Si las diferencias cambian, restá las diferencias. En 3, 7, 13, 21, 31… las diferencias son 4, 6, 8, 10: crecen de 2 en 2. El siguiente término es 31 + 12 = 43.
- Dividí cada término entre el anterior. Si el cociente es fijo, se multiplica siempre por lo mismo: 3, 6, 12, 24… duplica.
- Mirá si se mezclan dos operaciones. En 4, 6, 10, 18… las diferencias son 2, 4, 8: se duplican. Otra forma de verlo: cada término es el doble del anterior menos 2.
- Separá las partes. Si hay signos que alternan, fracciones o letras, cada parte sigue su propia regla: el signo por un lado, el numerador por otro, el denominador por otro.
- Probá con dos sucesiones intercaladas. En 2, 10, 4, 20, 6, 30… los términos impares van 2, 4, 6 y los pares 10, 20, 30.
Propiedades de los números que ahorran la cuenta
Algunos ítems preguntan por la última cifra de una potencia enorme, o si un resultado es par o múltiplo de algo. No se calcula el número: se busca el ciclo.
La última cifra de las potencias de 7 se repite cada cuatro: 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1… Para saber en qué termina 7⁴⁵ se divide el exponente entre 4: 45 = 4·11 + 1. El residuo 1 manda a la primera posición del ciclo, así que 7⁴⁵ termina en 7. Si el residuo fuera 0, correspondería a la última posición del ciclo (el 1).
Otras que conviene tener a mano porque se explican solas:
- Par por cualquier entero da par: si uno de los factores es par, el producto tiene un 2 adentro.
- La suma de dos impares es par: cada impar es un par más 1, y 1 + 1 = 2.
- Un número es múltiplo de 3 si la suma de sus cifras lo es, porque 10, 100, 1000… dejan residuo 1 al dividir entre 3.
Ejemplos resueltos
1. Premisas: I. Si Mariela entrena, entonces Jorge va al gimnasio. II. Si Mariela no entrena, entonces Andrés corre. III. Jorge no fue al gimnasio. ¿Qué se concluye con certeza? Andrés corre. Por el contrarrecíproco de I, si Jorge no fue al gimnasio, Mariela no entrenó. Con eso, la premisa II dice que Andrés corre. Cualquier opción sobre lo que hizo Jorge después no se puede asegurar.
2. ¿Cuál es el sexto término de 1/2, −3/4, 5/8, −7/16, …? Separá las partes. Signo: positivo en posición impar, negativo en posición par; la sexta es par, así que negativo. Numerador: impares, 1, 3, 5, 7, 9, 11. Denominador: potencias de 2, 2, 4, 8, 16, 32, 64. El término es −11/64.
3. ¿En qué cifra termina 3⁶²? Las últimas cifras de las potencias de 3 son 3, 9, 7, 1 y se repiten cada cuatro. 62 = 4·15 + 2: residuo 2, segunda posición del ciclo. Termina en 9.
4. Premisas: «Ningún reptil tiene plumas» y «Algunos animales del zoológico tienen plumas». ¿Qué se concluye? Algunos animales del zoológico no son reptiles. Los que tienen plumas no pueden ser reptiles. No se puede concluir que el zoológico no tenga reptiles: la premisa no dice nada de los animales sin plumas.
Los errores que más se cobran
- Recorrer la condicional al revés. Pasa porque «si llueve, se suspende» y «si se suspende, llovió» suenan parecidas. La opción que afirma la segunda casi siempre está entre las cuatro, justamente para eso.
- Tomar «algunos» como «todos». Pasa al leer rápido. Si una conclusión necesita que el grupo entero cumpla algo y la premisa dice «algunos», no se puede asegurar.
- Elegir lo probable en vez de lo seguro. Pasa porque la opción suena a sentido común. La prueba pregunta qué se concluye con certeza.
- Quedarse en la primera diferencia. Pasa cuando la diferencia no es constante y se adivina. Siempre queda probar la segunda diferencia o el cociente.
- Olvidar el signo o contar la posición mal. Pasa en sucesiones con signos alternos. Anotá el número de posición debajo de cada término antes de buscar la regla.
Clave de análisis
En deducción, la pregunta que decide todo es: ¿puedo imaginar un caso donde las premisas sean verdaderas y esta conclusión falsa? Si puedo, la descarto. Esa sola prueba desarma las cuatro trampas de la tabla y la confusión entre «algunos» y «todos».
En inducción, no se memorizan fórmulas: se prueban las herramientas en orden —diferencia, segunda diferencia, cociente, partes separadas, sucesiones intercaladas— y se verifica la regla con todos los términos dados, no solo con los dos primeros. Una regla que falla en el cuarto término no es la regla.
Segunda parte: Series, ciclos y acertijos de lógica: cómo resolverlos sin adivinar
Al terminar vas a poder encontrar cualquier posición lejana de una serie con una división, negar bien una frase de lógica y resolver acertijos de verdad y mentira sin adivinar.
Qué te piden en estas preguntas
La Prueba de Aptitud Académica de los Colegios Científicos mide cómo razonás, no cuánta materia sabés. En la práctica oficial del Sistema Nacional de Colegios Científicos de Costa Rica (SNCCCR) aparecen series de números, premisas con «o» y con «si…, entonces», y la pregunta «¿cuáles son verdaderas con certeza?».
Dos ideas resuelven casi todo: buscar lo que se repite y probar cada caso hasta que sobreviva uno solo.
Series de letras: ponele un número a cada letra
Una serie de letras se resuelve como una de números. Escribí debajo de cada letra su lugar en el abecedario.
El alfabeto español tiene 27 letras, y la Ñ va entre la N y la O. Contá así: A es 1, J es 10, M es 13, N es 14, Ñ es 15 y O es 16.
Ejemplo: B, C, E, H, L, … Los lugares son 2, 3, 5, 8 y 12. Los saltos son 1, 2, 3 y 4, así que el próximo salto es 5: 12 + 5 = 17, la letra P.
Ciclos: dividí y mirá el residuo
Cuando un patrón se repite, la posición lejana se encuentra dividiendo. El residuo es lo que sobra al dividir, y te dice en qué lugar del bloque caés.
Una cadena de luces de Navidad repite rojo, verde, azul y amarillo. ¿De qué color es la luz 150? El bloque tiene 4 luces. Como 150 = 4 · 37 + 2, sobran 2: caés en el segundo color, el verde.
Si el residuo es 0, caés en el último lugar del bloque. La luz 148 sale de 4 · 37 + 0, así que es amarilla, no roja. Los pasos son siempre los mismos:
- Contá cuántos elementos tiene el bloque que se repite.
- Dividí la posición entre ese número.
- Ubicá el residuo dentro del bloque.
Conteos: pensá en lo que se elimina o se empareja
Hay preguntas sin serie a la vista que esconden un patrón de conteo. Tres trucos aparecen una y otra vez.
- Contar lo que se elimina. En un torneo de eliminación directa sale un equipo por partido. Con 13 equipos hay que eliminar 12, así que se juegan 12 partidos.
- Emparejar los extremos. Para sumar 1 + 2 + … + 30, juntá el 1 con el 30, el 2 con el 29, y así. Salen 15 parejas de 31, o sea 465.
- Dividir entre 2 lo que contaste doble. Si 7 personas se saludan todas con todas, cada una saluda a 6: 7 · 6 = 42. Cada saludo se contó dos veces, así que son 21.
Lógica: cómo negar bien una frase
Esta tabla muestra cómo se niega cada tipo de frase.
| Frase | Su negación |
|---|---|
| Todos aprobaron | Al menos uno no aprobó |
| Algunos aprobaron | Ninguno aprobó |
| Si llueve, hay suspensión | Llueve y no hay suspensión |
| Llueve y hace frío | No llueve o no hace frío |
La negación de «todos» no es «ninguno»: basta un caso que falle para que «todos» sea falso.
Cuidado con «solo si». «Entro solo si llevo la cédula» quiere decir que sin cédula no entro. No dice que con cédula entre, porque pueden pedirme otra cosa.
Acertijos de verdad y mentira: probá los casos
El método tiene cuatro pasos: hacé la lista de casos posibles, probá cada uno contra todos los datos, descartá el que choque con algún dato y quedate con el único que sobrevive.
Cuando cada persona siempre dice la verdad o siempre miente, suponé que una dice la verdad y mirá si llegás a una contradicción. Si llegás, esa suposición era falsa.
Más ejemplos resueltos de esta segunda parte
1. Pablo dice: «Rosa miente.» Rosa dice: «Pablo y yo decimos la verdad.» Cada uno siempre dice la verdad o siempre miente. ¿Quién es quién?
Suponé que Rosa dice la verdad. Entonces Pablo también la dice, pero Pablo afirma que Rosa miente: contradicción. Por lo tanto Rosa miente, y su frase es falsa. Con eso, lo que dice Pablo es cierto: Pablo dice la verdad.
2. ¿Qué letra sigue en la serie Z, X, U, Q, …?
Con la Ñ, los lugares son 27, 25, 22 y 18. Los saltos son −2, −3 y −4, así que el siguiente es −5: 18 − 5 = 13, la letra M.
3. Es falso «si hay examen, Ana estudia». ¿Qué pasó?
Una condicional solo falla cuando se cumple la primera parte y no la segunda. Entonces hay examen y Ana no estudia.
Más errores que se cobran en esta segunda parte
- Olvidar la Ñ. Pasa porque el abecedario de 26 letras es el que más se ve en la escuela y en el teclado. Si la serie pasa de la N, tu respuesta queda corrida un lugar.
- Tomar el residuo 0 como el primer lugar. Pasa porque «0» suena a «al inicio». Residuo 0 significa que el bloque terminó completo: caés en el último elemento.
- Negar «todos» con «ninguno». Pasa porque suenan opuestos. Si ves «ninguno» entre las opciones, desconfiá: pide que falle todo y basta que falle un caso.
- Dar vuelta una condicional o un «solo si». Pasa porque en la vida diaria las entendemos en las dos direcciones. En la prueba solo valen en una.
- Contar doble. Pasa en saludos y parejas. Si contaste desde cada persona, dividí entre 2.
Clave de análisis de la segunda parte
Antes de elegir, hacete dos preguntas. En una serie o un conteo: ¿qué se repite o qué conté dos veces? En lógica: ¿puedo imaginar un caso donde los datos sean verdaderos y esta opción falsa? Si puedo, la descarto.
Para practicar, resolvé hoy cuatro ítems de esta sección. Debajo de cada uno anotá en una línea qué se repetía o qué caso probaste.