Cómo sacar conclusiones seguras y encontrar el patrón de una sucesión

Al terminar vas a poder decidir qué conclusión se puede asegurar a partir de unas premisas, encontrar la regla de una sucesión aunque mezcle signos, fracciones o dos patrones a la vez, y usar las propiedades de los números para contestar sin hacer la cuenta completa.

Qué pide esta parte de la prueba

La guía oficial del Sistema Nacional de Colegios Científicos dice que la prueba mide habilidades y no conocimientos. En razonamiento inductivo y deductivo eso significa dos cosas distintas:

• Deducir: partir de unas afirmaciones que se dan por ciertas (las premisas) y ver qué otra afirmación se sigue de ellas con certeza. No lo que es probable ni lo que suena razonable: solo lo que no puede ser falso si las premisas son verdaderas.
• Inducir: mirar varios casos —los primeros términos de una sucesión, los primeros resultados de una operación— y descubrir la regla que los produce, para aplicarla a un caso lejano, como el término 20 o la última cifra de una potencia grande.

La prueba es sin calculadora. Por eso casi nunca pide hacer la cuenta larga: pide ver la regla.

Deducir: el «si…, entonces…» funciona en una sola dirección

La mayoría de los ítems deductivos usan frases condicionales: «Si llueve en Turrialba, entonces el partido se suspende». Esa frase dice algo muy preciso:

• Cuando llueve, el partido se suspende. Siempre.
• No dice qué pasa cuando no llueve. El partido se puede suspender por otra razón: un apagón, un árbol caído.

De ahí salen dos formas válidas de razonar y dos trampas:

La segunda fila es la que más se usa en la prueba. Se llama contrarrecíproco: «si P, entonces Q» equivale a «si no Q, entonces no P». Cuando una premisa te dice que algo no pasó, buscá la condicional que lo tiene a la derecha del «entonces» y recorrela hacia atrás.

Deducir con «todos», «algunos» y «ninguno»

La otra familia de premisas habla de grupos:

• «Todos los estudiantes del club de robótica llevan matemática avanzada.»
• «Algunos que llevan matemática avanzada juegan fútbol.»

¿Se puede concluir que algún estudiante de robótica juega fútbol? No. Los que juegan fútbol pueden ser justamente los de matemática avanzada que no están en robótica. «Algunos» no dice cuáles.

La forma segura de revisarlo es imaginar un caso donde las premisas se cumplen y la conclusión falla. Si podés armar ese caso, la conclusión no se puede asegurar. Si no hay manera de armarlo, la conclusión es válida.

Inducir: encontrar la regla de una sucesión

Ante una sucesión, probá en este orden. Casi siempre la regla aparece en uno de los primeros pasos.

1. Restá cada término del anterior. Si la diferencia es siempre la misma, la sucesión es aritmética: 4, 11, 18, 25… suma 7 cada vez, y el término n es 4 + 7·(n − 1).
2. Si las diferencias cambian, restá las diferencias. En 3, 7, 13, 21, 31… las diferencias son 4, 6, 8, 10: crecen de 2 en 2. El siguiente término es 31 + 12 = 43.
3. Dividí cada término entre el anterior. Si el cociente es fijo, se multiplica siempre por lo mismo: 3, 6, 12, 24… duplica.
4. Mirá si se mezclan dos operaciones. En 4, 6, 10, 18… las diferencias son 2, 4, 8: se duplican. Otra forma de verlo: cada término es el doble del anterior menos 2.
5. Separá las partes. Si hay signos que alternan, fracciones o letras, cada parte sigue su propia regla: el signo por un lado, el numerador por otro, el denominador por otro.
6. Probá con dos sucesiones intercaladas. En 2, 10, 4, 20, 6, 30… los términos impares van 2, 4, 6 y los pares 10, 20, 30.

Propiedades de los números que ahorran la cuenta

Algunos ítems preguntan por la última cifra de una potencia enorme, o si un resultado es par o múltiplo de algo. No se calcula el número: se busca el ciclo.

La última cifra de las potencias de 7 se repite cada cuatro: 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1… Para saber en qué termina 7⁴⁵ se divide el exponente entre 4: 45 = 4·11 + 1. El residuo 1 manda a la primera posición del ciclo, así que 7⁴⁵ termina en 7. Si el residuo fuera 0, correspondería a la última posición del ciclo (el 1).

Otras que conviene tener a mano porque se explican solas:

• Par por cualquier entero da par: si uno de los factores es par, el producto tiene un 2 adentro.
• La suma de dos impares es par: cada impar es un par más 1, y 1 + 1 = 2.
• Un número es múltiplo de 3 si la suma de sus cifras lo es, porque 10, 100, 1000… dejan residuo 1 al dividir entre 3.

Ejemplos resueltos

1. Premisas: I. Si Mariela entrena, entonces Jorge va al gimnasio. II. Si Mariela no entrena, entonces Andrés corre. III. Jorge no fue al gimnasio. ¿Qué se concluye con certeza? Andrés corre. Por el contrarrecíproco de I, si Jorge no fue al gimnasio, Mariela no entrenó. Con eso, la premisa II dice que Andrés corre. Cualquier opción sobre lo que hizo Jorge después no se puede asegurar.

2. ¿Cuál es el sexto término de 1/2, −3/4, 5/8, −7/16, …? Separá las partes. Signo: positivo en posición impar, negativo en posición par; la sexta es par, así que negativo. Numerador: impares, 1, 3, 5, 7, 9, 11. Denominador: potencias de 2, 2, 4, 8, 16, 32, 64. El término es −11/64.

3. ¿En qué cifra termina 3⁶²? Las últimas cifras de las potencias de 3 son 3, 9, 7, 1 y se repiten cada cuatro. 62 = 4·15 + 2: residuo 2, segunda posición del ciclo. Termina en 9.

4. Premisas: «Ningún reptil tiene plumas» y «Algunos animales del zoológico tienen plumas». ¿Qué se concluye? Algunos animales del zoológico no son reptiles. Los que tienen plumas no pueden ser reptiles. No se puede concluir que el zoológico no tenga reptiles: la premisa no dice nada de los animales sin plumas.

Los errores que más se cobran

1. Recorrer la condicional al revés. Pasa porque «si llueve, se suspende» y «si se suspende, llovió» suenan parecidas. La opción que afirma la segunda casi siempre está entre las cuatro, justamente para eso.
2. Tomar «algunos» como «todos». Pasa al leer rápido. Si una conclusión necesita que el grupo entero cumpla algo y la premisa dice «algunos», no se puede asegurar.
3. Elegir lo probable en vez de lo seguro. Pasa porque la opción suena a sentido común. La prueba pregunta qué se concluye con certeza.
4. Quedarse en la primera diferencia. Pasa cuando la diferencia no es constante y se adivina. Siempre queda probar la segunda diferencia o el cociente.
5. Olvidar el signo o contar la posición mal. Pasa en sucesiones con signos alternos. Anotá el número de posición debajo de cada término antes de buscar la regla.

Clave de análisis

En deducción, la pregunta que decide todo es: ¿puedo imaginar un caso donde las premisas sean verdaderas y esta conclusión falsa? Si puedo, la descarto. Esa sola prueba desarma las cuatro trampas de la tabla y la confusión entre «algunos» y «todos».

En inducción, no se memorizan fórmulas: se prueban las herramientas en orden —diferencia, segunda diferencia, cociente, partes separadas, sucesiones intercaladas— y se verifica la regla con todos los términos dados, no solo con los dos primeros. Una regla que falla en el cuarto término no es la regla.