Cómo resolver secuencias de figuras, perímetros, áreas y desarrollos del cubo

Qué pide esta parte de la prueba

En razonamiento con figuras la prueba de los Colegios Científicos no pide fórmulas de memoria: pide mirar una figura y sacar de ella un número o una relación. Los ítems vienen con un dibujo —una secuencia, una cuadrícula, un desarrollo plano— y cuatro opciones.

Se resuelven con tres herramientas que se explican solas: contar con orden, convertir lo que se ve en una regla, y reconocer qué cambia y qué no cuando se mueve una parte de la figura.

Secuencias de figuras: contar lo que se agrega

En una secuencia, cada figura se arma a partir de la anterior. El truco es no contar la figura entera cada vez, sino lo que se agrega de una a la siguiente.

En la escalera, la figura 1 tiene 1 cuadrito, la figura 2 tiene 1 + 2 = 3 y la figura 3 tiene 1 + 2 + 3 = 6. Cada figura agrega una columna con un cuadrito más que la anterior. Entonces la figura 6 tiene 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.

Para una figura lejana no hace falta sumar todo. La suma 1 + 2 + … + n se puede emparejar: el primero con el último, el segundo con el penúltimo. Cada pareja suma n + 1 y hay n/2 parejas, así que el total es n(n + 1)/2. Con n = 6: 6 · 7 / 2 = 21, lo mismo que sumando.

Cuando lo que se agrega es siempre la misma cantidad, la regla es más simple. Si la figura 1 tiene 3 piezas y cada figura agrega 2, la figura n tiene 3 + 2(n − 1) = 2n + 1.

Fósforos: las piezas compartidas

Los ítems con fósforos o palillos tienen una trampa propia: dos cuadrados vecinos comparten un lado.

El primer cuadrado usa 4 fósforos. Cada cuadrado nuevo pegado a la fila solo necesita 3, porque su lado izquierdo ya está puesto. Por eso una fila de k cuadrados usa 4 + 3(k − 1) = 3k + 1 fósforos. Una fila de 10 cuadrados usa 31, no 40.

Con triángulos pasa lo mismo: el primero usa 3 fósforos y cada triángulo nuevo, 2. Una fila de k triángulos usa 2k + 1.

La pregunta también puede venir al revés: «si se usaron 46 fósforos, ¿cuántos cuadrados hay?». Se despeja la regla: 3k + 1 = 46, entonces k = 15.

Perímetro y área con cuadritos

El área es cuántos cuadritos ocupa la figura. El perímetro es cuántos lados de cuadrito tiene el borde. Son preguntas distintas y la prueba suele poner la respuesta de una como distractor de la otra.

Dos ideas ahorran casi todo el conteo:

• Quitar una esquina no cambia el perímetro. Si a un rectángulo de 5 por 3 se le quita el cuadrito de una esquina, el borde pierde dos lados pero gana dos lados hacia adentro. El perímetro sigue siendo 2(5 + 3) = 16, aunque el área baje de 15 a 14.
• Un hueco en el medio sí aumenta el perímetro. El borde del hueco también es borde de la figura: se suman sus 4 lados. El área baja en 1.

Para el área de una figura irregular, casi siempre es más rápido tomar el rectángulo que la encierra y restar lo que falta que contar lo que hay.

Áreas que se comparan sin medir

Algunos ítems no dan medidas: preguntan si dos áreas son iguales. La herramienta es la fórmula del triángulo, área = base · altura / 2, leída como una razón: dos triángulos con la misma base y la misma altura tienen la misma área, aunque uno se vea inclinado y el otro recto.

Si varios triángulos comparten la base inferior de un rectángulo y su tercer vértice está en el lado de arriba, todos tienen como altura el alto del rectángulo. Por eso todos tienen la misma área, y esa área es la mitad del rectángulo. Lo que no se puede asegurar es que tengan el mismo perímetro: los lados inclinados miden distinto según dónde esté el vértice.

Fracciones sombreadas

Si un cuadrado está dividido en partes iguales, la fracción sombreada es partes sombreadas entre partes totales, y después se simplifica. En una cuadrícula de 6 por 6 con 12 cuadritos pintados, la fracción es 12/36 = 1/3.

Los distractores habituales son dos: la fracción no sombreada (24/36 = 2/3) y la que compara sombreado con no sombreado (12/24 = 1/2), que no es una fracción del total.

Desarrollos planos del cubo

Un desarrollo plano es el cubo abierto y aplanado. La pregunta típica es qué cara queda opuesta a otra al armarlo. Dos caras que se tocan en el dibujo nunca son opuestas: al doblar quedan pegadas por una arista.

Cuando el desarrollo tiene una fila de cuatro caras, la regla es: en la fila, son opuestas las que están separadas por una cara. En la fila P, Q, R, S, la P es opuesta a la R y la Q es opuesta a la S. Las dos caras que salen de la fila, una arriba y otra abajo, son opuestas entre sí: la T y la U.

Para comprobarlo, imaginá que doblás la fila como una banda alrededor del cubo: P al frente, Q a la derecha, R atrás, S a la izquierda. P y R quedan enfrentadas, y también Q y S. Las dos que sobran tapan arriba y abajo.

Ejemplos resueltos

1. Una secuencia de figuras con forma de ele tiene 3 cuadritos en la figura 1, 5 en la figura 2 y 7 en la figura 3. ¿Cuántos tiene la figura 25? Cada figura agrega 2 cuadritos: uno al brazo vertical y otro al horizontal. La figura n tiene 2n + 1. La figura 25 tiene 51.

2. Se arma una fila de triángulos con 41 fósforos. ¿Cuántos triángulos tiene? La regla es 2k + 1 = 41, así que k = 20. La opción 13 sale de dividir 41 entre 3, como si los triángulos no compartieran lados.

3. Un rectángulo de 6 por 4 cuadritos tiene un hueco de un cuadrito en su interior, lejos del borde. ¿Cuál es su perímetro y cuál su área? El borde exterior mide 2(6 + 4) = 20 y el hueco agrega 4: perímetro 24. El área es 24 − 1 = 23 cuadritos.

4. En una cuadrícula de 5 por 5 hay 5 cuadritos sombreados. ¿Qué fracción no está sombreada? Quedan 20 de 25 sin sombrear: 20/25 = 4/5. Leé bien si la pregunta pide lo sombreado o lo que no.

Los errores que más se cobran

1. Contar las piezas compartidas dos veces. Pasa con fósforos y cuadritos: se multiplica el número de figuras por los lados de cada una. La opción que sale de esa cuenta está siempre entre las cuatro.
2. Confundir perímetro con área. Pasa porque las dos se cuentan sobre el mismo dibujo. El perímetro se mide en lados; el área, en cuadritos.
3. Creer que quitar una esquina reduce el perímetro. Pasa porque la figura se ve más pequeña. Lo que se pierde por fuera se gana por dentro.
4. Elegir como opuestas dos caras vecinas en el dibujo. Pasa al no imaginar el doblez. Dos caras con un lado común nunca son opuestas.
5. Aplicar la regla a la figura equivocada. Pasa cuando la secuencia empieza en la figura 1 y se usa n − 1 donde era n. Probá la regla con la figura 1 antes de usarla con la 25.

Clave de análisis

En una secuencia, la regla sale de responder qué se agrega en cada paso; después se escribe como «lo de la primera figura más lo que se agrega tantas veces como pasos haya». Probala con las figuras dibujadas: si da el número que se ve en las tres, es la regla.

En perímetros y áreas, preguntate qué cambia y qué no cuando la figura se modifica. En cubos, doblá el desarrollo en la cabeza como una banda de cuatro caras con una tapa arriba y otra abajo. Ninguna de estas tres herramientas pide memorizar: todas se reconstruyen mirando el dibujo.

Segunda parte: Figuras descritas en palabras: perímetro, área y cubos sin dibujo

Al terminar vas a poder armar en tu cabeza una figura descrita con palabras, calcularle perímetro y área sin calculadora, contar cubitos pintados y decidir qué caras quedan opuestas en un cubo abierto.

Qué te piden y cómo empezar

En la Prueba de Aptitud Académica del Sistema Nacional de Colegios Científicos de Costa Rica (SNCCCR), algunas preguntas de figuras traen dibujo y otras solo la describen con palabras. En las segundas, la figura la armás vos. La práctica oficial avisa que no se permite calculadora.

Seguí tres pasos:

1. Hacé un bosquejo, aunque quede feo, con cada medida escrita donde corresponde.
2. Subrayá qué piden: el borde (perímetro), la superficie (área) o una cantidad de piezas.
3. Buscá la figura sencilla escondida: un rectángulo, un cuadrado o un triángulo con ángulo recto.

Perímetro y área con rectángulos

• Quitar una esquina no cambia el perímetro. Un potrero de 20 m por 12 m sigue teniendo 64 m de borde si se le saca un corral de 8 m por 5 m en una esquina. Lo perdido por fuera se gana por dentro.
• Un hueco suma su propio borde. Un patio de 15 m por 10 m con una piscina de 6 m por 4 m necesita 50 + 20 = 70 m de cordón.
• Un marco se calcula por resta. Primero el rectángulo de afuera, después el de adentro. Con un marco de 3 cm, cada medida crece 6 cm, porque el marco está a los dos lados.
• Si el lado crece, el área crece al cuadrado. Un lado 50 % más largo mide 1,5 veces lo anterior, y el área pasa a 1,5 · 1,5 = 2,25 veces.

Triángulos y círculos

El área de un triángulo es base por altura entre 2. Con la misma base y la misma altura, dos triángulos tienen la misma área, aunque su perímetro cambie. Al unir los puntos medios de un triángulo, el del centro vale la cuarta parte; en un cuadrado, el de puntos medios vale la mitad.

Si falta un lado de un triángulo con ángulo recto, usá el teorema de Pitágoras: los cuadrados de los dos lados que forman el ángulo recto suman el cuadrado del lado más largo. Conviene reconocer las ternas 3-4-5, 5-12-13 y 8-15-17, y sus múltiplos.

En los círculos, dejá la π (pi) sin multiplicar. El área es π por el radio al cuadrado. Un círculo que toca los cuatro lados de un cuadrado de 10 dm tiene radio 5 y área 25π. Lo que queda afuera es 100 − 25π.

Cubos y cubitos pintados

Un cubo tiene 12 aristas (bordes), 6 caras y 8 esquinas. Si un cubo grande se pinta por fuera y se corta en cubitos, hay cuatro tipos de cubito. La tabla muestra cuántos hay en un cubo de «n» cubitos por arista («n» es el número de cubitos que caben en una arista).

El truco es quitar 2 en cada dirección: las esquinas y los bordes no son interior. Comprobá la suma: 8 + 36 + 54 + 27 = 125 = 5³.

Desarrollos del cubo en palabras

Un desarrollo plano es el cubo abierto y aplanado. Si la pregunta dice «fila 2: las caras P, Q, R y S», imaginá esa fila como una banda alrededor del cubo. Ahí, las caras separadas por una cara quedan opuestas: P con R y Q con S. Las dos que salen de la fila, arriba y abajo, son opuestas entre sí.

Dos caras que se tocan en el dibujo nunca son opuestas. Además, solo 11 de las 35 formas de unir seis cuadrados arman un cubo: una fila de cinco no sirve, y en una fila de cuatro los dos cuadrados sueltos tienen que ir uno a cada lado.

Papel doblado, giros y espejos

Un papel doblado dos veces por la mitad queda en cuatro capas. Una perforación en el interior del cuadrado pequeño da 4 huecos al abrir la hoja. Si cae en la esquina donde se cruzan los dos dobleces, es el centro de la hoja y da un solo hueco.

Los giros se suman con signo: elegí un sentido como positivo (por ejemplo, el de las agujas del reloj) y el contrario como negativo. Frente a un espejo vertical, una palabra se ve igual solo si se lee igual al revés y todas sus letras son simétricas: AMA sí, ASA no.

Más ejemplos resueltos de esta segunda parte

1. Un cubo de 4 cm de arista se pinta por fuera y se corta en cubitos de 1 cm. ¿Cuántos tienen exactamente una cara pintada?

Cada cara tiene un centro de 2 por 2 cubitos sin tocar los bordes: 4. Con 6 caras, 6 · 4 = 24.

2. Un rectángulo de 10 m por 6 m tiene un cuadrado de 2 m por 2 m recortado en una esquina. ¿Cuál es su perímetro?

El rectángulo entero mide 2 · (10 + 6) = 32 m. Al recortar la esquina se pierden 2 m de un lado y 2 m del otro, pero el recorte agrega por dentro 2 m y 2 m. El perímetro no cambia: 32 m.

3. Un cubo de 5 cubitos por arista se pinta por fuera y se corta en cubitos. ¿Cuántos no tienen ninguna cara pintada?

Los que no tocan el exterior forman un cubo más chico: se quitan 2 cubitos en cada dirección, o sea 3 por arista. 3 · 3 · 3 = 27.

4. Un rectángulo tiene perímetro 36 m y su largo mide 11 m. ¿Cuál es su área?

Largo más ancho es la mitad del perímetro: 18 m. El ancho es 18 − 11 = 7 m. El área es 11 · 7 = 77 m².

Más errores que se cobran en esta segunda parte

1. Restar al perímetro cuando se quita una esquina. Los dos lados perdidos se recuperan por dentro.
2. Sumar 3 en vez de 6 con un marco de 3 cm. Se piensa en un solo lado.
3. Responder el área cuando piden el perímetro. Fijate en la unidad: metros para el borde, metros cuadrados para la superficie.
4. Usar 12 · n para las aristas del cubo pintado. Las esquinas ya se contaron; se usa 12 · (n − 2).
5. Elegir como opuestas dos caras vecinas. Si se tocan en el dibujo, se tocan en el cubo.

Clave de análisis de la segunda parte

Antes de elegir, preguntate ¿cuál es la figura sencilla escondida y qué medida me falta? Si hay piezas o cubitos: ¿qué conté dos veces y qué me quedó afuera?

Hoy mismo, resolvé cuatro ítems de esta sección y anotá cuál era la figura sencilla de cada uno.