Cómo resolver problemas de razonamiento sin calculadora

Qué pide esta parte de la prueba

Resolución de problemas es la habilidad que más ítems lleva en la parte matemática de la prueba de los Colegios Científicos. Son situaciones cotidianas —una tienda, un viaje, una rifa, una finca— donde los datos están en el texto y hay que decidir qué operación los une.

La prueba es sin calculadora y son 80 ítems en tres horas. Eso cambia la manera de trabajar: el tiempo no se gana haciendo cuentas rápido, se gana planteando bien antes de calcular y simplificando antes de multiplicar.

El método en cuatro pasos

1. Nombrá lo que se busca. Escribí en una línea qué es la incógnita y en qué unidades va: «cuántos días», «precio final en colones», «probabilidad de que las dos sean verdes».
2. Traducí cada frase a una relación. «Recibe 14 más que» es una suma; «el triple de» es una multiplicación; «tardan 20 días entre 6» es un producto fijo de personas por días.
3. Simplificá antes de operar. 36·25/100 se hace más fácil como 36/4 = 9. Dividir primero evita números grandes y errores.
4. Revisá con el sentido común. Si más personas trabajando tardan más días, algo está mal. Si una probabilidad da mayor que 1, también.

Proporciones: directa o inversa

Antes de hacer una regla de tres, preguntate: si una cantidad aumenta, ¿la otra aumenta o disminuye?

• Directa: más kilos de café cuestan más. El cociente se mantiene: si 3 kg cuestan ₡9 000, 5 kg cuestan 5 · 3 000 = ₡15 000.
• Inversa: más personas terminan en menos días. Lo que se mantiene es el producto: 6 personas por 20 días son 120 «días-persona» de trabajo; con 10 personas, 120 ÷ 10 = 12 días.

La trampa más común es resolver una inversa como directa. Da 33,3 días en el ejemplo, más días con más gente, y esa opción suele estar entre las cuatro.

Porcentajes que se aplican uno sobre otro

Un aumento del 20 % seguido de un descuento del 20 % no deja el precio igual. Cada porcentaje se calcula sobre el precio que había en ese momento:

• ₡10 000 con 20 % más: ₡12 000.
• ₡12 000 con 20 % menos: se rebajan ₡2 400 y quedan ₡9 600.

La forma rápida es multiplicar por los factores: 1,2 · 0,8 = 0,96. El precio final es el 96 % del original. Lo mismo con dos descuentos seguidos: 30 % y luego 10 % dan 0,7 · 0,9 = 0,63, un 37 % de rebaja, no un 40 %.

Repartos, edades y trabajo conjunto

Repartos con diferencia. Si 90 canicas se reparten y uno recibe 14 más que el otro, primero se quita la diferencia: 90 − 14 = 76. Eso se reparte en partes iguales, 38 y 38, y al que recibe más se le devuelven los 14: 38 y 52.

Edades. Lo que no cambia con los años es la diferencia de edades. Todo lo demás se plantea con una incógnita: si hoy la mamá tiene el triple de la edad de su hija y dentro de 12 años tendrá el doble, con la hija de x años: 3x + 12 = 2(x + 12), de donde x = 12. La hija tiene 12 y la mamá 36; dentro de 12 años, 24 y 48.

Trabajo conjunto. No se suman tiempos, se suman rapideces. Si una llave llena un tanque en 6 horas, en una hora llena 1/6; si otra lo llena en 3 horas, en una hora llena 1/3. Juntas llenan 1/6 + 1/3 = 1/2 por hora: tardan 2 horas.

Contar y calcular probabilidades

Principio multiplicativo. Si en una soda hay 3 platos fuertes, 4 refrescos y 2 postres, un almuerzo completo se arma de 3 · 4 · 2 = 24 maneras: cada elección se combina con todas las demás.

Probabilidad. Es casos favorables entre casos posibles. Cuando se sacan cosas sin devolverlas, la segunda extracción ya tiene una menos:

Una bolsa tiene 4 bolas verdes y 2 amarillas. La probabilidad de sacar dos verdes seguidas es 4/6 · 3/5 = 12/30 = 2/5. En la segunda extracción quedan 5 bolas y solo 3 verdes.

Ejemplos resueltos

1. Un bus va de San José a Liberia a 90 km/h y regresa por la misma ruta a 60 km/h. La distancia es de 180 km por trayecto. ¿Cuál fue la rapidez promedio de todo el viaje? Ida: 180 ÷ 90 = 2 h. Regreso: 180 ÷ 60 = 3 h. Recorrió 360 km en 5 h: 72 km/h. La opción de 75 km/h sale de promediar las rapideces, y es falsa porque el bus pasó más tiempo a 60 que a 90.

2. En una asignatura, el trabajo cotidiano vale 40 % y obtuvo 90; las pruebas valen 45 % y obtuvo 60; las tareas valen 15 % y obtuvo 80. ¿Cuál es la nota? Cada nota se multiplica por su peso: 0,40 · 90 = 36; 0,45 · 60 = 27; 0,15 · 80 = 12. Suma: 75. El promedio simple, 76,7, ignora que las pruebas pesan más.

3. Con los dígitos 1, 2, 3 y 4, sin repetir, ¿cuántos números de tres cifras se pueden formar? Para las centenas hay 4 opciones, para las decenas quedan 3 y para las unidades 2: 4 · 3 · 2 = 24.

4. Una receta usa 3 tazas de harina para 12 empanadas. ¿Cuántas tazas se necesitan para 30? Es directa: más empanadas, más harina. Cada taza rinde 4 empanadas; 30 ÷ 4 = 7,5 tazas.

Los errores que más se cobran

1. Tratar una proporción inversa como directa. Pasa porque la regla de tres se hace en automático. La pregunta «¿si aumenta uno, el otro aumenta?» se hace antes de escribir un solo número.
2. Sumar o restar porcentajes seguidos. Pasa porque 20 % arriba y 20 % abajo parece que se cancelan. Cada porcentaje se aplica sobre una base distinta.
3. Promediar rapideces. Pasa porque «promedio» hace pensar en sumar y dividir entre dos. La rapidez promedio es distancia total entre tiempo total.
4. Olvidar que en la segunda extracción hay una menos. Pasa en probabilidad sin reposición. Si el texto dice «sin devolverla», el denominador baja.
5. Contestar otra cosa de la que se pregunta. Pasa cuando se calcula la edad de la hija y la pregunta era la de la mamá. El paso 1 del método existe para eso.

Clave de análisis

Las opciones falsas de un problema no son números al azar: son el resultado de un planteamiento equivocado. Promediar rapideces, restar porcentajes, olvidar la extracción anterior, resolver la inversa como directa. Por eso, si tu resultado coincide con una opción, eso no prueba que esté bien; lo prueba la revisión con sentido común del paso 4.

Cuando te sobre un minuto, reemplazá tu respuesta en el enunciado: si la hija tiene 12 y la mamá 36, ¿dentro de 12 años la mamá tiene el doble? 48 es el doble de 24. Esa comprobación toma diez segundos y detecta casi todos los errores de planteamiento.

Segunda parte: Cómo resolver problemas de proporciones y porcentajes sin calculadora

Al terminar vas a poder resolver sin calculadora problemas de proporciones y porcentajes: sacar el 10 % de cualquier cantidad de cabeza, decidir si una regla de tres es directa o inversa, y volver al precio original cuando solo conocés el final.

Sin calculadora, con números redondos

La prueba de aptitud de los Colegios Científicos no permite calculadora. Por eso los números se pueden manejar a mano: 400, 1 200, 50 000. Si una cuenta te da muchos decimales, casi siempre planteaste mal el problema; no te falta una calculadora.

El método en tres pasos

1. Escribí qué te piden y en qué unidad. «¿Cuántos colones?», «¿qué porcentaje?». Mucha gente calcula bien y contesta otra cosa.
2. Pasá todo a la misma base. Los porcentajes a fracciones o a «partes de 10», los minutos a horas, los centímetros a kilómetros.
3. Calculá con números fáciles y volvé a leer la pregunta. Si el resultado no tiene sentido (más personas y más días), revisá el planteamiento.

Porcentajes con el 10 % como ancla

El 10 % de una cantidad se saca moviendo la coma un lugar: el 10 % de ₡4 500 es ₡450. Desde ahí sale casi todo: el 5 % es la mitad, el 20 % es el doble, el 1 % es la décima parte y el 15 % es el 10 % más el 5 %.

También ayudan las fracciones que ya conocés: 50 % es 1/2, 25 % es 1/4, 20 % es 1/5 y 75 % es 3/4. Y un truco: el 4 % de 50 es lo mismo que el 50 % de 4, o sea 2.

Proporción directa e inversa

Antes de escribir una regla de tres, preguntate: si una cantidad sube, ¿la otra sube o baja?

En la directa se mantiene el cociente. Si 6 mangos cuestan ₡2 400, cada uno cuesta ₡400, y 15 cuestan ₡6 000. Calculá primero el precio de una unidad: el arroz de 2 kg y el de 5 kg solo se comparan por kilo.

En la inversa se mantiene el producto. Si 4 personas pintan un aula en 12 días, el trabajo vale 48 «días-persona». Con 6 personas, 48 ÷ 6 = 8 días.

Si preguntan cuántos artículos podés comprar, el resultado se redondea hacia abajo. Si preguntan cuántos buses o cajas hacen falta, hacia arriba.

Cuando un porcentaje se aplica sobre otro

El porcentaje siempre se calcula sobre la cantidad que había en ese momento. Un precio que sube 20 % y después baja 20 % no vuelve al original: 1,2 · 0,8 = 0,96, queda en el 96 %.

Para volver al original, dividí; no le sumes ni le restés el porcentaje a lo que ya tenés. Si pagaste ₡24 000 con una rebaja de 20 %, pagaste el 80 % del precio. Ese 80 % es 4/5, así que cada quinto vale ₡6 000 y el precio original (cinco quintos) es ₡30 000.

Algo parecido pasa con «más que» y «menos que». Si Ana gana 25 % más que Beto, Beto gana 20 % menos que Ana. La diferencia se compara con 125 en un sentido y con 100 en el otro.

Más ejemplos resueltos de esta segunda parte

1. Una mochila cuesta ₡18 000 y tiene un 15 % de descuento. ¿Cuánto se paga? El 10 % es ₡1 800 y el 5 % es ₡900, así que el descuento es ₡2 700. Se paga ₡18 000 − ₡2 700 = ₡15 300.

2. Cinco personas pintan el salón comunal en 12 días. ¿Cuántos días tardan 3 personas? Más tiempo con menos gente: es inversa. El trabajo son 5 · 12 = 60 días-persona, y 60 ÷ 3 = 20 días. Resolverla como directa da 7,2 días, un resultado que no tiene sentido.

3. Un televisor pasó de costar ₡250 000 a costar ₡200 000. ¿En qué porcentaje bajó el precio? Bajó ₡50 000, y se compara con el precio de partida: 50 000 ÷ 250 000 = 1/5, o sea 20 %. Dividir entre ₡200 000 daría 25 %, que es el error típico.

4. Si 10 estudiantes promedian 80 en una prueba y otros 30 promedian 60, ¿cuál es el promedio de los 40? No es 70. Se suman los puntos de cada grupo, 800 y 1 800, y se dividen entre 40: 65.

Más errores que se cobran en esta segunda parte

1. Resolver una proporción inversa como directa. Pasa porque la regla de tres se hace en automático. La pregunta «¿si una sube, la otra sube?» va antes de escribir un número.
2. Calcular el porcentaje sobre la base equivocada. Pasa al dividir entre el valor final en vez del inicial. El cambio siempre se compara con de dónde se partió.
3. Sumar porcentajes encadenados. Pasa porque 20 % arriba y 20 % abajo parecen cancelarse, pero cada uno tiene una base distinta.
4. Promediar promedios sin pesos. Pasa cuando los grupos son de distinto tamaño. Se suman puntos y se divide entre todas las personas.
5. Cambiar mal las unidades. Pasa con 2 horas y 30 minutos, que son 2,5 horas y no 2,30.

Clave de análisis de la segunda parte

Las tres opciones falsas de un problema casi nunca son números al azar. Cada una es el resultado de un error concreto: la base equivocada, la inversa tratada como directa, el promedio sin pesos, la unidad sin convertir. Cuando tu resultado aparezca entre las opciones, no lo marques todavía. Preguntate qué error produciría cada una de las otras tres, y si la tuya coincide con alguno de esos errores, revisá el planteamiento.

Después comprobá devolviendo la respuesta al enunciado: si el original era ₡30 000 y le quitás el 20 %, tienen que quedar ₡24 000. Hoy, hacé una tanda de Resolución de problemas y, en cada fallo, anotá cuál de estos cinco errores cometiste.