Relaciones y álgebra
Al terminar vas a poder representar una función cuadrática, resolver ecuaciones de segundo grado y usar el discriminante, factorizar, dividir polinomios y racionalizar.
18 de las 60 preguntas de la prueba
La función cuadrática
Es la que se escribe y = ax² + bx + c, con a distinto de cero. Su gráfica es una parábola.
- Si a > 0, la parábola abre hacia arriba y tiene un mínimo.
- Si a < 0, abre hacia abajo y tiene un máximo.
- El término c es donde la parábola corta el eje vertical.
Se representa de tres formas, y la pregunta pide pasar de una a otra: tabular, algebraica y gráfica.
Ecuaciones de segundo grado
Se resuelven con la fórmula general:
x = ( −b ± √(b² − 4ac) ) ÷ 2a
El discriminante es Δ = b² − 4ac, y por sí solo dice cuántas soluciones hay sin terminar el cálculo:
| Discriminante | Soluciones |
|---|---|
| Δ > 0 | dos raíces reales distintas |
| Δ = 0 | una raíz real, repetida |
| Δ < 0 | ninguna raíz real |
Muchas preguntas solo preguntan cuántas soluciones tiene, y ahí basta con calcular el discriminante.
Factorización y expresiones algebraicas
Factorizar es escribir una expresión como producto. Los casos que más caen:
- Factor común:
6x² + 9x = 3x(2x + 3) - Diferencia de cuadrados:
a² − b² = (a + b)(a − b) - Trinomio cuadrado perfecto:
a² + 2ab + b² = (a + b)² - Trinomio x² + px + q: se buscan dos números que sumen p y multipliquen q.
Completar el cuadrado, que la tabla pide explícitamente: convertir x² + px + q en la forma (x − h)² + k. Se toma la mitad de p, se eleva al cuadrado, se suma y se resta.
Operaciones con expresiones fraccionarias: se simplifican factorizando arriba y abajo. Solo se cancelan factores, nunca sumandos.
Racionalizar es quitar la raíz del denominador:
- Si el denominador es √a, se multiplica arriba y abajo por √a.
- Si es a + √b, se multiplica por el conjugado, a − √b.
División de polinomios: se ordenan de mayor a menor grado y se dejan huecos para los términos que faltan.
Un ejercicio de cada tipo, resuelto
Cuántas soluciones tiene 2x² − 4x + 5 = 0.
Δ = b² − 4ac = (−4)² − 4(2)(5) = 16 − 40 = −24. Como es negativo, no tiene raíces reales, yno hace falta seguir con la fórmula.
Factorizar x² + 7x + 12.
Se buscan dos números que sumen 7 y multipliquen 12: son 3 y 4. Queda(x + 3)(x + 4).
Racionalizar 6 ÷ (3 − √5).
Se multiplica arriba y abajo por el conjugado 3 + √5. El denominador queda3² − (√5)² = 9 − 5 = 4, y el resultado es (18 + 6√5) ÷ 4, que se simplifica a(9 + 3√5) ÷ 2.
Errores típicos que la prueba cobra
- Cancelar sumandos en una fracción algebraica. Solo se cancelan factores.
- Olvidar el ± en la fórmula general y dar una sola raíz.
- Equivocar el signo dentro del discriminante. Es b² menos 4ac.
- Confundir la diferencia de cuadrados con la suma.
a² + b²no factoriza en los reales. - Racionalizar sin el conjugado cuando el denominador es un binomio.
- Creer que a puede ser cero en la cuadrática. Si lo fuera, sería lineal.
Ponelo a prueba
Esta lección cubre las 18 preguntas del área de Relaciones y álgebra.