Números
Números reales
Al terminar vas a poder explicar por qué un decimal periódico sí es racional, decidir si una raíz es racional o irracional sin calculadora, ubicar cualquier raíz entre dos enteros, y convertir prefijos del Sistema Internacional sabiendo hacia dónde se mueve el número.
13 de las 60 preguntas de la prueba
Por qué un decimal que se repite siempre es una fracción
Un número racional es el que se puede escribir como fracción de enteros. Cuando hacés esa división a mano, en cada paso te queda un residuo, y los residuos posibles son menos que el divisor: dividiendo entre 7 solo pueden salir 0, 1, 2, 3, 4, 5 o 6.
Entonces pasa una de dos cosas. O aparece el residuo 0 y la división termina, o se repite un residuo que ya salió y, desde ahí, se repiten las mismas cifras para siempre.
De ahí sale la regla entera: todo racional da un decimal finito o periódico, y no hay tercera opción. Un decimal que es infinito y no repite ningún bloque no puede venir de una fracción: eso es un irracional.
Ejemplos: 0,25 termina y 0,333… repite, así que los dos son racionales. √2, √3, π y el número e tienen expansión infinita sin período: son irracionales.
Los números reales son los racionales junto con los irracionales, y entre los dos llenan la recta numérica sin dejar huecos. Fuera de los reales queda la raíz de índice par de un número negativo, como √−4: ningún real al cuadrado da negativo, porque el cuadrado de un positivo y el de un negativo son los dos positivos.
Cuándo una raíz es racional
La raíz de un entero es racional solo si el resultado es exacto, o sea si el radicando es un cuadrado perfecto. √25 = 5 es racional; √26 es irracional.
Por eso conviene tener a mano la lista que se construye sola multiplicando: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144. No es una lista que haya que recordar: se rehace en diez segundos cuadrando 1, 2, 3, 4…
Ubicar una raíz entre dos enteros
La raíz cuadrada conserva el orden: si un número es mayor que otro, su raíz también lo es. Entonces, para ubicar √n, se buscan los cuadrados perfectos vecinos.
Para √30: como 25 < 30 < 36, tomando raíz queda 5 < √30 < 6. Y como 30 está más cerca de 36 que de 25, √30 anda por 5,5.
Ese mismo orden sirve para comparar radicales del mismo índice: a mayor radicando, mayor raíz. No hace falta calcular ninguno.
Los prefijos del SI: una sola escalera
| Prefijo | Símbolo | Vale |
|---|---|---|
| giga | G | 10⁹ |
| mega | M | 10⁶ |
| kilo | k | 10³ |
| mili | m | 10⁻³ |
| micro | μ | 10⁻⁶ |
| nano | n | 10⁻⁹ |
Fijate en el patrón: los exponentes van de tres en tres, y hacia abajo se repiten con signo negativo. Giga, mega y kilo son 9, 6 y 3; nano, micro y mili son −9, −6 y −3, en espejo.
Lo que decide el sentido de la conversión es el tamaño de la unidad. Si pasás a una unidad más pequeña, hacen falta más unidades para lo mismo, y el número crece. Si pasás a una más grande, el número se achica. Es igual que con la plata: los mismos mil colones son 1.000 unidades de un colón o 1 unidad de mil.
Ejemplos resueltos
1. De estos cuatro, ¿cuál es irracional: 0,4545… , √49, 7 ÷ 3 y √27? 0,4545… repite el bloque 45: racional. √49 = 7: exacto, racional. 7 ÷ 3 ya es fracción de enteros: racional. √27 es el irracional, porque 27 no es cuadrado perfecto —queda entre 25 y 36—.
2. Ubicá √52 entre dos enteros consecutivos y estimá su valor. Los cuadrados vecinos son 49 = 7² y 64 = 8², y 49 < 52 < 64, así que 7 < √52 < 8. Como 52 está mucho más cerca de 49, la raíz anda apenas arriba de 7: cerca de 7,2. Comprobación: 7,2 × 7,2 = 51,84, que es casi 52. Va bien.
3. Ordená de menor a mayor: √8 , 2,5 , √15 , 3. √8 está entre 2 y 3 porque 4 < 8 < 9, y cerca de 3: ≈ 2,83. √15 está entre 3 y 4 porque 9 < 15 < 16, y muy cerca de 4: ≈ 3,87. Ahora se comparan los cuatro: 2,5 < 2,83 < 3 < 3,87. El orden es 2,5 · √8 · 3 · √15. Control sin decimales: 3 = √9, y 8 < 9 < 15, así que √8 < 3 < √15 sin calcular nada.
4. Pasá 2,5 GB a megabytes y 7.500 nm a micrómetros. De giga (10⁹) a mega (10⁶) se baja un escalón de mil, y el mega es más pequeño, así que el número crece: 2,5 × 1.000 = 2.500 MB. De nano (10⁻⁹) a micro (10⁻⁶) se sube un escalón de mil, y el micrómetro es más grande, así que el número se achica: 7.500 ÷ 1.000 = 7,5 μm.
5. ¿Es real √−16? ¿Y ∛−8? √−16 no es real: el índice es par y ningún real elevado al cuadrado da negativo. En cambio ∛−8 sí es real y vale −2, porque (−2) × (−2) × (−2) = −8: con índice impar el signo negativo sobrevive.
Los errores que más se cobran
- Llamar irracional a un decimal periódico. El error nace de confundir «infinito» con «sin patrón». 0,666… no termina nunca, pero repite un bloque, y por eso viene de una fracción: es racional.
- Creer que toda raíz es irracional. √49 = 7 es tan racional como el 7. Lo que decide no es el símbolo de raíz, es si el radicando es cuadrado perfecto.
- Ubicar mal una raíz por tantear en vez de buscar los cuadrados perfectos vecinos. Los vecinos dan los dos enteros de un solo golpe y sin error.
- Aceptar como real la raíz par de un negativo. Suele aparecer disimulada, dentro de una fórmula o de un discriminante.
- Confundir mili con micro. Los dos suenan a «poquito», pero mili es 10⁻³ y micro es 10⁻⁶: hay mil veces de diferencia.
- Invertir el sentido de la conversión. Se multiplica cuando había que dividir, por no preguntarse primero si la unidad de llegada es más grande o más chica que la de salida.
Clave de análisis
Para decidir si un número es racional te sirven tres preguntas en cadena, y no hay que saberse ninguna lista. ¿Se puede escribir como fracción de enteros? Si sí, es racional. ¿Es una raíz? Entonces es racional solo si el radicando es cuadrado perfecto. ¿Es un decimal? Es racional si termina o si repite un bloque, y esto no es un capricho: la división entre enteros solo puede terminar o entrar en ciclo, porque los residuos posibles son finitos.
Para lo demás alcanza con dos ideas de orden. La primera es que la raíz respeta el orden, así que ubicar y comparar radicales es cuestión de encontrar los cuadrados perfectos que los rodean. La segunda es que los prefijos del SI son una escalera simétrica de potencias de diez, y el sentido del cambio lo decide el tamaño de la unidad: unidad más pequeña, número más grande. Si alguna vez dudás, probá con un caso obvio —un kilómetro son mil metros— y de ahí sacás el sentido sin equivocarte.