Relaciones y álgebra
Relaciones y álgebra
Al terminar vas a poder deducir la fórmula general en vez de recordarla, decidir cuántas soluciones tiene una ecuación sin resolverla, elegir el caso de factorización que corresponde, y racionalizar explicando por qué el conjugado hace desaparecer la raíz.
18 de las 60 preguntas de la prueba
La parábola: qué información da cada letra
Una función cuadrática se escribe y = ax² + bx + c, con a distinto de cero: si a fuera cero desaparecería el término cuadrático y quedaría una recta.
Cada letra se lee en la gráfica sin calcular nada:
- El signo de a decide hacia dónde abre. Cuando x se hace grande, ax² manda sobre lo demás: si a > 0 la función se dispara hacia arriba por los dos lados y tiene mínimo; si a < 0, hacia abajo, y tiene máximo.
- c es el corte con el eje vertical. Sustituí x = 0 y queda y = c. No hay que recordarlo: se calcula en un renglón.
La misma función se presenta de tres formas —tabular, algebraica y gráfica— y las preguntas piden pasar de una a otra.
De dónde sale la fórmula general
Completar el cuadrado no es un tema aparte: es el procedimiento del que nace la fórmula general. A x² + px le falta poco para ser cuadrado perfecto, porque (x + p/2)² = x² + px + (p/2)². Entonces se suma y se resta (p/2)²: se agrega lo que falta y se devuelve enseguida, así que el valor no cambia. Aplicado a ax² + bx + c = 0 se llega a esto:
x = ( −b ± √(b² − 4ac) ) ÷ 2a
El ± no es un adorno: viene de que una raíz cuadrada tiene dos valores opuestos, y por eso una cuadrática puede tener dos soluciones.
Adentro de la raíz está el discriminante, Δ = b² − 4ac, que solo decide el resultado antes de terminar la cuenta:
| Discriminante | Soluciones | Por qué |
|---|---|---|
| Δ > 0 | dos distintas | la raíz da un número que se suma y se resta |
| Δ = 0 | una repetida | la raíz vale 0 y el ± no separa nada |
| Δ < 0 | ninguna real | no hay raíz par de un negativo |
Muchas preguntas solo piden cuántas soluciones hay. Ahí se calcula el discriminante y se para: seguir con la fórmula es perder tiempo.
Factorizar: escribir una suma como producto
Factorizar es convertir una suma en un producto, y sirve porque un producto se iguala a cero pedazo por pedazo. Los casos que caen son cuatro y cada uno se reconoce por su forma:
- Factor común: todos los términos comparten algo. 6x² + 9x = 3x(2x + 3).
- Diferencia de cuadrados: a² − b² = (a + b)(a − b). Se verifica multiplicando: los términos cruzados se cancelan. La suma a² + b² no factoriza en los reales.
- Trinomio cuadrado perfecto: a² + 2ab + b² = (a + b)². La marca es el término de en medio: tiene que ser el doble del producto de las dos raíces.
- Trinomio x² + px + q: dos números que sumen p y multipliquen q. Sale de desarrollar (x + m)(x + n) = x² + (m + n)x + mn.
En expresiones fraccionarias se factoriza arriba y abajo para simplificar. Solo se cancelan factores, nunca sumandos, porque cancelar es dividir, y eso exige que el de abajo divida a todo lo de arriba.
Racionalizar: por qué funciona el conjugado
Racionalizar es sacar la raíz del denominador, y los dos casos usan la misma idea: multiplicar por algo que valga 1.
Si el denominador es √a, se multiplica arriba y abajo por √a, porque √a · √a = a y la raíz desaparece.
Si es a + √b, multiplicar por lo mismo deja un término cruzado con raíz. Se multiplica por el conjugado a − √b, y ahí entra la diferencia de cuadrados: (a + √b)(a − √b) = a² − b, sin raíz. El conjugado no es un truco suelto: es la diferencia de cuadrados usada al revés.
En la división de polinomios se ordenan los dos de mayor a menor grado y se dejan huecos en los grados que faltan. El hueco vale cero, y sin él las columnas se corren y el resto sale mal.
Ejemplos resueltos
1. ¿Cuántas soluciones reales tiene 2x² − 4x + 5 = 0? Δ = (−4)² − 4(2)(5) = 16 − 40 = −24. Negativo: no tiene raíces reales, y no hace falta seguir. Ojo, (−4)² es +16.
2. Factorizá x² + 7x + 12 y resolvé x² + 7x + 12 = 0. Dos números que sumen 7 y multipliquen 12: 3 y 4. Queda (x + 3)(x + 4). Un producto es cero si algún factor lo es, así que x = −3 o x = −4.
3. Racionalizá 6 ÷ (3 − √5). Se multiplica arriba y abajo por el conjugado 3 + √5. Abajo: 3² − (√5)² = 9 − 5 = 4. Arriba: 18 + 6√5. Queda (18 + 6√5) ÷ 4, y con factor común 2 se simplifica a (9 + 3√5) ÷ 2.
4. Llevá x² − 6x + 1 a la forma (x − h)² + k. La mitad de −6 es −3, y (−3)² = 9. Se suma y se resta 9: x² − 6x + 9 − 9 + 1 = (x − 3)² − 8. Comprobación: (x − 3)² − 8 = x² − 6x + 9 − 8, que es x² − 6x + 1.
5. Simplificá (x² − 9) ÷ (x + 3). Arriba hay diferencia de cuadrados: (x + 3)(x − 3). Ahora (x + 3) sí es un factor arriba y abajo, y se cancela: queda x − 3. Tachar el 9 con el 3 habría sido cancelar sumandos.
Los errores que más se cobran
- Cancelar sumandos en una fracción algebraica. Pasa porque el ojo ve el mismo número arriba y abajo. Cancelar es dividir, y solo se divide lo que multiplica a toda la expresión: primero se factoriza.
- Olvidar el ± y dar una sola raíz. Viene de que la raíz cuadrada tiene dos valores opuestos; sin él perdés media respuesta.
- Equivocar el signo dentro del discriminante. Es b² menos 4ac, y si b es negativo su cuadrado sigue siendo positivo.
- Factorizar a² + b² como si fuera diferencia de cuadrados. Multiplicá (a + b)(a − b) y vas a ver que da a² − b²: la suma no sale de ahí.
- Racionalizar sin el conjugado con denominador binomio. Multiplicar por √b deja un término cruzado y la raíz sigue abajo.
- Aceptar a = 0 en una cuadrática. Sin el término x² no hay parábola ni discriminante: queda una lineal con una sola solución.
Clave de análisis
Todo este bloque se sostiene en dos movimientos. El primero es completar el cuadrado: de ahí salen la forma (x − h)² + k, la fórmula general y el discriminante, que es la parte bajo la raíz. Si se te borra la fórmula, completá el cuadrado en el caso concreto y la volvés a armar.
El segundo es la diferencia de cuadrados, que aparece tres veces disfrazada: como caso de factorización, como la razón de que a² + b² no factorice, y como el motivo por el que el conjugado limpia un denominador. Por encima queda un reflejo que ahorra tiempo: antes de resolver, mirá el signo. El de a dice hacia dónde abre la parábola; el de Δ, cuántas soluciones hay.