Estadística y probabilidad
Estadística y probabilidad
Al terminar vas a poder decidir si una variable es discreta o continua con una sola pregunta, armar y comprobar una tabla de frecuencias, y calcular una probabilidad frecuencial explicando por qué ese caso no se resolvía contando.
10 de las 60 preguntas de la prueba
Contar o medir: de ahí sale toda la diferencia
Las variables cuantitativas se expresan con un número, pero no todos los números se consiguen igual. De esa diferencia sale la clasificación que la prueba cobra.
Cuando el dato se obtiene contando, el resultado salta de un entero al siguiente y no hay nada en el medio: entre 2 y 3 hermanos no existe ningún valor posible. Esa variable es discreta.
Cuando el dato se obtiene midiendo, entre dos valores siempre cabe otro: entre 1,70 m y 1,71 m está 1,705 m, y con mejor instrumento aparecen más cifras. Esa variable es continua.
La pregunta que resuelve el caso: ¿esto se cuenta o se mide? Contar da discreta; medir da continua. No es una lista aparte: es una consecuencia de cómo se consiguió el dato.
El criterio no es «tiene decimales»: el promedio de hermanos de una sección puede dar 2,4 y la variable sigue siendo discreta, porque ningún estudiante tiene 2,4 hermanos. Decide el dato individual. Los buses que pasan por la parada se cuentan, así que es discreta; los litros de leche de una finca en Coronado se miden, así que es continua.
La tabla de frecuencias: cada columna es la anterior, transformada
Con muchos datos se agrupan en clases, y de cada clase se anotan tres cosas que no son tres ideas distintas, sino una sola mirada de tres maneras:
- Frecuencia absoluta (f): cuántos datos cayeron en esa clase. Un conteo puro.
- Frecuencia relativa (fr): fr = f ÷ n. La misma información en proporción, y por eso compara grupos de distinto tamaño.
- Frecuencia porcentual: la relativa por 100.
De ahí salen solas las dos comprobaciones: las absolutas suman n, porque cada dato cayó en exactamente una clase; y las porcentuales suman 100 %, porque n ÷ n = 1.
Las comprobaciones no son reglas aparte: son la definición leída al revés. Si no suman, hay un error.
Por qué en el histograma las barras se tocan
El histograma trabaja con datos agrupados en intervalos, o sea con variable continua. El intervalo 150–159 termina justo donde arranca 160–169: no hay hueco de estaturas imposibles, y como no lo hay en la realidad tampoco lo hay en el dibujo. Las barras se pegan. El gráfico de barras representa categorías separadas, y entre «Cartago» y «Limón» no hay nada intermedio: por eso van separadas.
El polígono de frecuencias marca el punto medio de cada clase a la altura de su frecuencia y une los puntos. Punto medio = (límite inferior + límite superior) ÷ 2.
De dónde sale la probabilidad frecuencial
La probabilidad clásica calcula P(E) = casos favorables ÷ casos posibles. Esa cuenta exige dos condiciones: poder listar todos los resultados y que todos sean igualmente probables. Con un dado se cumplen, y por eso ahí funciona.
Ahora preguntate por «que llueva mañana en Puntarenas». ¿Cuáles son los casos igualmente probables? No hay: la lista no existe. El clásico no se puede aplicar porque le faltan las condiciones. La salida es observar: se repite muchas veces, se cuenta cuántas ocurrió y se divide entre las repeticiones.
P(E) ≈ veces que ocurrió ÷ número de repeticiones
Eso es exactamente una frecuencia relativa usada como estimación, y de ahí el nombre. La ley de los grandes números dice que a más repeticiones, más se acerca esa frecuencia relativa a la probabilidad real. Ojo con lo que no dice: no promete que el evento ocurra, ni que después de varios fracasos «toque» acertar.
| Enfoque | Se usa cuando |
|---|---|
| Clásico | se listan todos los resultados y son igualmente probables: un dado |
| Frecuencial | no se pueden listar o no son igualmente probables: que llueva |
Ejemplos resueltos
1. En una encuesta se anota la cantidad de celulares por hogar y el consumo mensual de electricidad en kWh. Clasificá cada variable. Los celulares se cuentan: ningún hogar tiene 1,5 celulares, así que es discreta. El consumo se mide con un medidor que puede marcar 148,3 kWh: es continua.
2. Con la tabla de estaturas —150 a 159: 5 estudiantes; 160 a 169: 12; 170 a 179: 8—, calculá las frecuencias de la clase central y comprobá. Total: 5 + 12 + 8 = 25. Relativa: 12 ÷ 25 = 0,48. Porcentual: 48 %. Comprobación: 5 ÷ 25 = 0,20 → 20 %; 8 ÷ 25 = 0,32 → 32 %; y 20 + 48 + 32 = 100 %. Cierra. Como la estatura se mide, la variable es continua y el gráfico es el histograma.
3. En esa tabla, ¿qué puntos medios usa el polígono de frecuencias? (150 + 159) ÷ 2 = 154,5; (160 + 169) ÷ 2 = 164,5; (170 + 179) ÷ 2 = 174,5. El polígono une (154,5 ; 5), (164,5 ; 12) y (174,5 ; 8). Quedan separados por 10, igual que el ancho de clase: ese es el control.
4. Una pulpería registró que de 200 clientes, 34 pagaron con tarjeta. Estimá la probabilidad de que el próximo pague con tarjeta y justificá el enfoque. Pagar con tarjeta y pagar en efectivo no tienen por qué ser igualmente probables, así que el clásico no aplica y se usa el frecuencial: P ≈ 34 ÷ 200 = 0,17, o sea 17 %. Control: 0,17 cae entre 0 y 1.
Los errores que más se cobran
- Clasificar como continua algo que se cuenta. Pasa por mirar si el promedio tiene decimales. El promedio no es el dato: la cantidad de personas se cuenta y es discreta.
- Confundir frecuencia absoluta con relativa. La absoluta es un conteo y depende del tamaño del grupo; la relativa ya está dividida entre el total. Si la pregunta dice «qué proporción», la absoluta no puede ser la respuesta.
- Confundir histograma con gráfico de barras. El error viene de mirar el dibujo y no la variable. Las barras se tocan porque los intervalos no dejan huecos; las categorías sí están separadas.
- Usar el enfoque clásico donde no se puede. Se aplica «favorables entre posibles» a casos que no son igualmente probables, como «llueve o no llueve: 1 ÷ 2». Faltan las condiciones y el resultado no significa nada.
- Creer que la ley de los grandes números garantiza algo. Solo afirma que la estimación mejora con más repeticiones: no hay deuda que la suerte tenga que pagar. Con 20 lanzamientos, 13 escudos no prueban que la moneda esté cargada.
- No comprobar que las porcentuales sumen 100 %. Es la verificación más barata que hay y descarta opciones sin cuentas nuevas.
Clave de análisis
Todo este bloque se reconstruye con dos preguntas. La primera es cómo se consiguió el dato: si se contó, la variable es discreta, los valores van sueltos y el gráfico lleva barras separadas; si se midió, es continua, los datos se agrupan en intervalos y el gráfico es un histograma con las barras pegadas. De esa sola respuesta salen el tipo de tabla y el de gráfico.
La segunda es si se pueden listar los resultados y si son igualmente probables. Si sí, se cuenta: favorables entre posibles. Si no, se observa y se divide lo ocurrido entre lo repetido —esa es la probabilidad frecuencial—, sabiendo que es una estimación que mejora con más datos. Y sobre cualquier resultado quedan dos controles: las porcentuales suman 100 % y una probabilidad siempre cae entre 0 y 1. Si alguno falla, revisá el denominador.