Geometría
Geometría y trigonometría
Al terminar vas a poder deducir la fórmula de la distancia en vez de recordarla, convertir grados y radianes sabiendo de dónde sale el factor, decidir cuál razón trigonométrica pide cada pregunta, y separar apotema de altura en una pirámide.
19 de las 60 preguntas: el área más grande, y 10 de ellos son solo de trigonometría. Se permite calculadora básica, y los dibujos no están a escala: un ángulo que parece recto no lo es hasta que lo diga el enunciado.
Pitágoras, y por qué la distancia entre dos puntos es el mismo teorema
En todo triángulo rectángulo, c² = a² + b², con c la hipotenusa: el lado opuesto al ángulo recto y siempre el más largo. Eso no es un dato suelto: su cuadrado es la suma de los otros dos, y una suma de positivos supera a cada sumando.
Ubicá dos puntos, P(x₁, y₁) y Q(x₂, y₂). Moviéndote horizontal y después vertical hasta Q armás un triángulo rectángulo de catetos (x₂ − x₁) y (y₂ − y₁), con PQ de hipotenusa. Es Pitágoras y nada más:
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
De ahí sale gratis que no importa el orden de los puntos: el cuadrado borra el signo de la diferencia.
Grados y radianes: de dónde sale el factor
Media vuelta son 180°, y esa misma media vuelta son π radianes: son el mismo giro en dos idiomas. Convertir es una regla de tres con esa igualdad. Para radianes multiplicás por π ÷ 180, que vale «radianes por cada grado»; para grados, por 180 ÷ π. Así, 135° = 135 × π ÷ 180 = 3π ÷ 4, simplificando 135 ÷ 180 = 3 ÷ 4 antes de multiplicar.
El control que evita el error más común: un radián es casi 57°, así que el número de radianes sale más chico que el de grados. Si convertís 60° y da 3.437, te fuiste al revés.
Equivalencias de dividir π: 30° = π/6 · 45° = π/4 · 60° = π/3 · 90° = π/2.
Las tres razones y las tres identidades que se deducen
En un rectángulo, mirando desde un ángulo agudo α:
- sen α = cateto opuesto ÷ hipotenusa
- cos α = cateto adyacente ÷ hipotenusa
- tan α = cateto opuesto ÷ cateto adyacente
De esas definiciones salen las identidades que la prueba pide, sin nada nuevo:
tan α = sen α ÷ cos α. Dividí (op ÷ hip) entre (ady ÷ hip): se cancelan las hipotenusas y queda op ÷ ady.
sen²α + cos²α = 1. Sumá los cuadrados: (op² + ady²) ÷ hip². El numerador es Pitágoras, o sea hip², y hip² ÷ hip² = 1.
sen α = cos(90° − α). Los agudos suman 90°, y el cateto opuesto a α es adyacente al otro. Por eso sen 30° = cos 60°.
Si un cateto es opuesto o adyacente lo decide desde cuál ángulo lo mirás: el mismo lado cambia de nombre según el ángulo, no según el dibujo.
Elevación, depresión y la ley de senos
El ángulo de elevación se abre hacia arriba desde la horizontal; el de depresión, hacia abajo, también desde la horizontal. Si lo medís desde la vertical obtenés el complemento, y terminás cambiando seno por coseno.
Si el triángulo no es rectángulo no hay hipotenusa y las razones no aplican. Ahí entra la ley de senos:
a ÷ sen A = b ÷ sen B = c ÷ sen C
Cada lado se empareja con el seno del ángulo de enfrente. Trazá la altura desde un vértice: el triángulo queda partido en dos rectángulos y esa altura se escribe de dos maneras, b · sen A o a · sen B. Igualarlas da la ley.
Apotema, altura y las áreas del espacio
En una pirámide recta, la apotema es la altura de una cara lateral: va por la superficie inclinada, del vértice al punto medio de un lado de la base. La altura va por dentro, hasta el centro de la base. Se relacionan por Pitágoras, con la apotema de hipotenusa: por eso siempre supera a la altura.
Las fórmulas de área salen de contar caras:
- Área lateral de pirámide = perímetro × apotema ÷ 2. Cada cara es un triángulo de área base × apotema ÷ 2, y las bases suman el perímetro.
- Área total de pirámide = lateral + una base: hay punta, no tapa.
- Área lateral de prisma recto = perímetro × altura. Las caras son rectángulos que, desenrollados, dan uno solo de ancho igual al perímetro.
- Área total de prisma = lateral + dos bases: base y tapa.
Ejemplos resueltos
1. Hallá la distancia entre A(2, 3) y B(7, 15). Diferencias: 7 − 2 = 5 y 15 − 3 = 12. d = √(5² + 12²) = √169 = 13. Comprobación: 13² = 169 = 25 + 144, y 13 supera a 5 y a 12, como debe ser la hipotenusa.
2. Un poste se ve con elevación de 30° desde un punto a 18 m de su base. ¿Cuánto mide? La altura es el cateto opuesto a los 30° y los 18 m el adyacente: los une la tangente. tan 30° = h ÷ 18, y con tan 30° ≈ 0,577 da h ≈ 10,4 m. Control: 30° es chico, así que el poste sale más corto que la distancia.
3. Si sen α = 0,6 y α es agudo, ¿cuánto vale cos α? Por sen²α + cos²α = 1: cos²α = 1 − 0,36 = 0,64, así que cos α = 0,8, positivo porque α es agudo. Comprobación: 0,36 + 0,64 = 1.
4. Una pirámide de base cuadrada tiene lado 12 cm y apotema 10 cm. Calculá el área total. Perímetro: 4 × 12 = 48. Lateral: 48 × 10 ÷ 2 = 240 cm². Base: 144 cm². Total: 384 cm². Se sumó una base; si fuera prisma, dos.
Los errores que más se cobran
- Poner un cateto en lugar de la hipotenusa. Pasa por copiar el dibujo en vez de ubicar el ángulo recto. La hipotenusa no toca el ángulo recto y es el lado más largo: si sale más corta que un cateto, la asignaste mal.
- Confundir seno con coseno. El error no está en la fórmula sino en no fijar desde cuál ángulo se mira: marcá primero el ángulo del enunciado y después nombrá los catetos.
- Medir la elevación o la depresión desde la vertical. Da el complemento del ángulo verdadero, y cae justo en una de las opciones falsas.
- Multiplicar por 180 ÷ π al ir de grados a radianes. Se detecta con el control de tamaño: los radianes dan un número más chico.
- Usar la altura de la pirámide como apotema. Son cateto e hipotenusa del mismo triángulo: dan resultados distintos y los dos parecen razonables.
- Olvidar la segunda base del prisma. La pirámide lleva una porque termina en punta; el prisma lleva dos.
Clave de análisis
Casi todo este bloque se reconstruye desde Pitágoras: la distancia entre puntos es Pitágoras con las diferencias de coordenadas, sen² + cos² = 1 es Pitágoras dividido entre la hipotenusa al cuadrado, y altura contra apotema es otra vez Pitágoras. Si se te olvida una fórmula, dibujá el triángulo rectángulo escondido y armala de nuevo.
Lo segundo que ordena todo es desde dónde se mira: un cateto es opuesto o adyacente según el ángulo, elevación y depresión se cuentan desde la horizontal, y la ley de senos empareja cada lado con el ángulo de enfrente. Cuando dudés, usá los controles de tamaño: la hipotenusa es el lado más largo, y un ángulo en radianes da un número mucho más chico.