Relaciones y álgebra
Al terminar vas a poder encontrar la ley de formación de una sucesión y distinguir la proporcionalidad directa de la inversa en sus cuatro representaciones.
7 de las 60 preguntas: el área más pequeña, y por eso conviene asegurarla.
Sucesiones y patrones
Una sucesión es una lista ordenada de números que sigue una regla, y esa regla se llama ley de formación.
Cómo encontrarla:
- Restá cada término del siguiente. Si la diferencia es siempre la misma, la sucesión suma o resta esa cantidad.
- Si no, dividí. Si el cociente es constante, multiplica por ese número.
- Comprobá la regla con al menos tres términos antes de darla por buena.
En 3, 7, 11, 15… la diferencia es siempre 4, así que cada término suma 4 al anterior, y en lenguaje algebraico el término n es 4n − 1.
La ley se puede expresar de tres maneras, y la prueba pide pasar de una a otra: en lenguaje natural («se suma 4»), en tabla y en forma algebraica.
Proporcionalidad
- Directa: si una cantidad crece, la otra crece en la misma proporción, y el cociente entre ellas se mantiene. Más kilos, más precio.
- Inversa: si una crece, la otra disminuye, y el producto entre ellas se mantiene. Más trabajadores, menos días.
Cómo distinguirlas sin equivocarse:
- En la directa, dividí un par de valores: el resultado es siempre el mismo.
- En la inversa, multiplicalos: el resultado es siempre el mismo.
Sus cuatro representaciones:
| Representación | Directa | Inversa |
|---|---|---|
| Verbal | a más, más | a más, menos |
| Tabular | el cociente se mantiene | el producto se mantiene |
| Gráfica | recta que pasa por el origen | curva que se acerca a los ejes |
| Algebraica | y = kx | y · x = k |
Los dos ejercicios que caen, resueltos
Directa. Si 3 kg de arroz cuestan ₡2.400, ¿cuánto cuestan 7 kg?
El cociente se mantiene: 2400 ÷ 3 = ₡800 por kilo. Entonces 7 × 800 = ₡5.600.
Inversa. Si 4 trabajadores hacen una obra en 18 días, ¿cuánto tardan 6?
Acá se mantiene el producto: 4 × 18 = 72 días de trabajo. Con 6 trabajadores, 72 ÷ 6 = 12 días.
Cómo no confundirlas: antes de operar, preguntate qué pasa si la primera cantidad crece. Si laotra crece, dividís para hallar la constante; si la otra baja, multiplicás.
Encontrar la ley de formación, paso a paso
Hallá la ley de 5, 10, 20, 40…
- Restás: 10 − 5 = 5, pero 20 − 10 = 10. La diferencia no es constante, así que no suma.
- Dividís: 10 ÷ 5 = 2, 20 ÷ 10 = 2, 40 ÷ 20 = 2. El cociente sí es constante.
- La regla: cada término es el doble del anterior, y el siguiente es 80.
En 2, 5, 8, 11… la diferencia sí es constante y vale 3, de modo que el término n es 3n − 1.Comprobalo con el cuarto: 3(4) − 1 = 11. ✓
Errores típicos que la prueba cobra
- Dar la ley de formación con solo dos términos. Hay que comprobarla con tres.
- Confundir proporcionalidad directa con inversa. Dividir para la directa, multiplicar para la inversa.
- Creer que toda relación creciente es proporcional. Tiene que mantener constante el cociente.
- Confundir el término con su posición en la sucesión.
- Buscar diferencia constante en una sucesión multiplicativa. Si restar no da constante, probá dividiendo.
Ponelo a prueba
Esta lección cubre las 7 preguntas del área de Relaciones y álgebra.