Geometría
Geometría
Al terminar vas a poder deducir todos los ángulos de dos paralelas cortadas por una transversal a partir de uno solo, decidir si tres medidas forman un triángulo, calcular ángulos y áreas de cuadriláteros, y hallar el punto medio en el plano cartesiano.
23 de las 60 preguntas: el área más grande de la prueba.
Aviso del anexo oficial: los dibujos no están hechos a escala. La figura solo ilustra las condiciones del problema, así que medir con la vista es una trampa segura. Todo se resuelve con los datos escritos, no con lo que parece.
Los elementos básicos, y en qué se diferencian
- Recta: infinita en los dos sentidos. Segmento: tiene dos extremos. Semirrecta o rayo: tiene un extremo y sigue infinito por el otro.
- Puntos colineales: están sobre una misma recta. Coplanares: están en un mismo plano.
- Punto medio: divide un segmento en dos partes iguales.
- Rectas paralelas: no se cortan nunca. Perpendiculares: se cortan formando 90°. Concurrentes: se cortan en un punto.
En los cuerpos: cara es cada superficie plana, arista el segmento donde se juntan dos caras, y vértice el punto donde se juntan varias aristas. Un cubo tiene 6 caras, 12 aristas y 8 vértices. Fijate que la arista es una línea y el vértice un punto: ahí está toda la diferencia.
Ángulos: todo sale de que la recta llana mide 180°
- Llano: mide 180°.
- Par lineal: dos adyacentes cuyos lados no comunes forman una recta. Suman 180°, justamente porque juntos arman el llano.
- Opuestos por el vértice: se forman al cruzarse dos rectas y son congruentes. Sale del par lineal: si α + β = 180° y β + γ = 180°, entonces α = γ.
- Complementarios: suman 90°. Suplementarios: suman 180°.
Dos paralelas cortadas por una transversal. Con un solo ángulo conocido se obtienen todos los demás:
- Los correspondientes y los alternos internos son congruentes.
- Los conjugados internos son suplementarios.
Al cruzar dos paralelas con una transversal solo hay dos medidas distintas, y suman 180°. Si un ángulo mide 70°, todos los demás miden 70° o 110°.
Ese resumen no reemplaza los nombres, pero sí te salva: aunque no recuerdes si dos ángulos son alternos o conjugados, sabés que la respuesta es 70° o 110°, y con la posición decidís cuál.
Triángulos: tres reglas que se usan juntas
- Suma de los ángulos internos = 180°, siempre.
- Ángulo externo: vale la suma de los dos internos no adyacentes. Se deduce: el externo forma par lineal con su interno, y los tres internos suman 180°.
- Desigualdad triangular: cada lado tiene que ser menor que la suma de los otros dos.
Cómo aplicar la desigualdad rápido: sumá los dos lados menores. Si esa suma no supera al mayor, no hay triángulo. Con 3, 4 y 9: 3 + 4 = 7, que no llega a 9, así que no existe. Los dos lados cortos no alcanzan a cerrar la figura.
Un ángulo desconocido, paso a paso. En un triángulo, dos ángulos miden 52° y 61°.
- Los tres suman 180°.
- Sumás los conocidos: 52 + 61 = 113.
- Restás: 180 − 113 = 67°.
- El externo de ese vértice: 180 − 67 = 113°, que es igual a 52 + 61. Coincide, como tenía que ser.
Cuadriláteros y áreas
- Suma de los ángulos internos de un cuadrilátero convexo = 360°. Sale de partirlo con una diagonal en dos triángulos: 180° + 180°.
- Suma de los ángulos externos = 360°, y eso vale para cualquier polígono convexo.
| Figura | Área |
|---|---|
| Rectángulo | base × altura |
| Cuadrado | lado² |
| Triángulo | base × altura ÷ 2 |
| Paralelogramo | base × altura |
| Trapecio | (base mayor + base menor) × altura ÷ 2 |
La tabla no son cinco fórmulas sueltas. El rectángulo es la base de todo. El paralelogramo da lo mismo porque se le corta un triángulo de un lado y se le pega del otro: queda un rectángulo. El triángulo es medio paralelogramo, por eso el ÷ 2. Y el trapecio usa el promedio de las dos bases por la altura, que es lo que dice esa fórmula al dividir entre 2.
Geometría analítica: el punto medio
Punto medio de un segmento: se promedian las coordenadas. Si los extremos son (x₁, y₁) y (x₂, y₂), el punto medio es ((x₁+x₂)/2 , (y₁+y₂)/2).
La razón es la misma que en cualquier promedio: el punto de en medio entre 2 y 8 es 5, y 5 es (2+8)/2. Acá se hace dos veces, una por cada coordenada. Si te olvidás de dividir, el resultado se sale del segmento, y eso se nota a simple vista.
Ejemplos resueltos
1. Dos paralelas cortadas por una transversal. Un ángulo mide 115°. ¿Cuánto mide su conjugado interno? Solo hay dos medidas: 115° y 180 − 115 = 65°. Los conjugados internos son suplementarios, así que mide 65°.
2. ¿Se puede formar un triángulo con lados de 5, 6 y 12? Sumás los dos menores: 5 + 6 = 11, y 11 < 12. No se puede. Los dos lados cortos no llegan a tocarse.
3. Tres ángulos de un cuadrilátero miden 90°, 85° y 100°. ¿Cuánto mide el cuarto? Los cuatro suman 360°. Sumás: 90 + 85 + 100 = 275. Restás: 360 − 275 = 85°.
4. Hallá el punto medio del segmento de extremos (−2, 7) y (6, 1). Coordenada x: (−2 + 6)/2 = 4/2 = 2. Coordenada y: (7 + 1)/2 = 8/2 = 4. El punto medio es (2, 4).
5. Un triángulo tiene un ángulo externo de 130° y uno de los internos no adyacentes mide 45°. ¿Cuánto mide el otro? El externo vale la suma de los dos internos no adyacentes: 130 = 45 + x, así que x = 85°.
Los errores que más se cobran
- Medir en el dibujo. El anexo lo advierte: las figuras no están a escala. El dibujo muestra las condiciones, no las medidas, y por eso la respuesta solo puede salir de los datos escritos.
- Confundir complementarios con suplementarios. Son 90° y 180°, y se mezclan porque los nombres no dicen el número. El suplemento completa la recta, que es el ángulo más grande de los dos.
- Usar 180° para el cuadrilátero. Son 360°, y se deduce partiéndolo en dos triángulos con una diagonal.
- Sumar las coordenadas sin dividir al buscar el punto medio. El promedio necesita la división; sin ella el punto queda fuera del segmento.
- Olvidar la desigualdad triangular y aceptar un triángulo imposible. Con los dos lados menores sumados se descarta en un paso.
- Tomar por congruentes los conjugados internos. Esos son suplementarios: están del mismo lado de la transversal, y juntos arman el llano.
Clave de análisis
Casi toda la geometría de sétimo se reconstruye desde dos hechos: la recta llana mide 180° y las paralelas no se cortan. Del primero salen el par lineal, los opuestos por el vértice —congruentes porque comparten suplemento—, los 180° del triángulo y, partiendo el cuadrilátero en dos triángulos, sus 360°. Del segundo sale el truco que más rinde: al cruzar dos paralelas con una transversal solo existen dos medidas, y suman 180°. Si sabés una, sabés todas.
Las áreas tampoco son cinco fórmulas sueltas: el rectángulo es base por altura, el paralelogramo se convierte en rectángulo recortando y pegando un triángulo, el triángulo es la mitad de un paralelogramo, y el trapecio multiplica la altura por el promedio de sus dos bases. Si dibujás mentalmente ese recorte, la fórmula aparece sola.
Y hay dos verificaciones que cuestan poco y salvan preguntas. Para el punto medio, comprobá que el resultado quede entre los dos extremos: si no queda, faltó dividir. Para un triángulo, sumá los dos lados menores antes de hacer cualquier otra cosa: si no superan al mayor, la figura no existe y la pregunta ya está contestada.